Пример 5. Большое предприятие использует экспоненциальные сглаживания для прогно­за спроса на оборудование для контроля за загрязнением

Большое предприятие использует экспоненциальные сглаживания для прогно­за спроса на оборудование для контроля за загрязнением. Считается, что тренд существует.

Константы сглаживания определены значениями α =.2 и α =.4. Предполагае­мый начальный прогноз для месяца 1 был 11 единиц.

Шаг 1. Прогноз для месяца 2 (F₂) = Прогноз для месяца 1 (F₁) + (Спрос месяца 1 – Прогноз для месяца 1):

F₂ = 11 +.2(12 – 11) = 11,0 +.2 = 11,2.

Шаг 2. Рассчитываем текущий тренд. Предполагаем начальный тренд, равный нулю, т. е. Т₁ = 0.

Т₂ = (1 –β) Т₁ + β (F₂ – F₁) = 0 +.4 (11,2 – 11,0) = 0,08.

Шаг 3. Рассчитываем прогноз, включающий тренд (FIT):

FIT ₂ = F₂+T₂ = 11,2 +.08 = 11,28.

Мы будем делать такие расчеты также для третьего месяца.

Шаг 1. F₃ = F₂ + α (Спрос месяца 2 – F₂ ) = 11,2+.2 (17 – 11,2) = 12,36.

Шаг 2. Т₃ = (1 – β) + β (F₃ – F₂) = (1 –.4).08 +.4 (12,36 – 11,2) = 51.

Шаг 3. FIT ₃ = F₃ + T₃ = 12,36 +.51 = 12,87.

Так, простой экспоненциальный прогноз (без учета тренда) для месяца 2 был равен 11,2 единицам, а прогноз с регулируемым трендом был равен 11,28 едини­цам. В месяце 3 простой прогноз (без учета тренда) был равен 12,36 единицам, а прогноз с регулируемым трендом был равен 12,87 единицам. Естественно, различ­ные значения T₁ и β могут давать даже лучшие оценки.

Следующая таблица содержит прогнозы для девятимесячного периода. Рис. 4.3 сравнивает текущий спрос, прогноз без учета тренда (F₁) и прогноз с учетом тренда (FIT₁).

Значение трендовой константы сглаживаются β похоже на константу α в том, что высокое β делает более представительны­ми текущие изменения в тренде. Низкое β дает меньший вес те­кущим трендам. Значение β может быть найдено путем определе­ния ошибок и MAD, используемых как измеритель для сравнения.

Простое экспоненциальное сглаживание часто относится к сглаживанию первого порядка, а сглаживание с трендовым регу­лированием называется сглаживанием второго порядка. Другие модели экспоненциального сглаживания, включая сезонное регу­лирование и тройное сглаживание, также используются, но они не описаны в данной книге.

Трендовое проектирование. Метод прогнозирования на осно­ве прошлых временных серий, который мы будем обсуждать, на­зывается трендовым проектированием. Этот метод устанавливает линию тренда по серии точек прошлых данных, а затем проекти­рует линию в будущее для средне- и долгосрочных прогнозов. Ряд математических уравнений-трендов может быть использован (на­пример, экспоненциальные и квадратные), но в данной секции мы будем рассматривать только линейные (прямолинейные) тренды.

Если мы решили развивать линейный тренд линейно точным статистическим методом, то можем применить метод наименьших квадратов. Этот метод позволяет получить прямую линию, кото­рая минимизирует сумму квадратов вертикальных разностей меж­ду линией и каждым текущим наблюдением. Рис. 4.4 иллюстриру­ет метод наименьших квадратов.

Линия, полученная методом наименьших квадратов, описыва­ется в терминах ее у -значения (высотой, отсекаемой ею на оси у) и ее наклоном (линейным углом). Если мы можем рассчитать отсекаемое у -значение и наклон, то можем описать линию следу­ющим уравнением:

у = а + bх, (4.8)

где у – расчетное значение предсказываемой переменной (зави­симой переменной);

а – отрезок, отсекаемый прямой на оси у;

b – наклон линии регрессии (или коэффициент изменения значения у по отношению к изменению значения х);

х – независимая переменная (в данном случае время).

Статистически, имея уравнение, мы можем найти значения а и b для некоторой линии регрессии. Наклон линии регрессии находим так:

где b – наклон линии регрессии;

Σ – сумма значений;

х – значения независимой переменной;

у – значения зависимой переменной;

– среднее значение х;

– среднее значение у;

п – число точек данных, или наблюдений.

Мы можем рассчитать отрезок а, отсекаемый на оси у.

а = – b . (4.10)

Пример 6 изображает, как использовать этот подход.