Равенство Клаузиуса

Рассмотрим произвольный обратимый цикл теплового двигателя, изображённый на рис. 3.3. Его можно осуществить только в случае, если количество верхних и нижних источников тепла достаточно велико (в пределе бесконечно велико).

Такой произвольный цикл можно представить набором достаточно узких (в пределе бесконечно узких) циклов Карно, работающих при различных температурах верхних и нижних источников тепла.

Рис. 3.3.

Для цикла Карно имеем на основании (3.10):

Суммируя это равенство по всем N циклам Карно, получим:

Переобозначив индексы, эту сумму можно переписать в виде:

В пределе эта сумма преобразуется в интеграл по замкнутому контуру (циклу)

(3.11)

Этот результат носит название интеграла Клаузиуса.

3.7. Неравенство Клаузиуса. Математическое выражение II начала термодинамики

Помимо цикла Карно, работающего в интервале температур верхнего источника тепла T ₁ и нижнего источника тепла T ₂ и имеющего, как мы выяснили, максимально возможный в данном интервале температур термический КПД, рассмотрим какой-либо другой цикл, функционирующий в том же интервале температур. Как следует из первой теоремы Карно, термический КПД такого цикла заведомо будет ниже термического КПД цикла Карно, а сам цикл заведомо будет необратимым. Имеем тогда неравенство

откуда следует, что сумма приведённых теплот для необратимого цикла отрицательна:

(3.12)

Рассуждая аналогично тому, как мы это делали при выводе интеграла Клаузиуса (3.11), т.е. рассматривая произвольный необратимый цикл и разбивая его мысленно множеством адиабат на большое (в пределе бесконечное) число циклов с различными значениями Т ₁ и Т ₂, получим неравенство Клаузиуса

(3.13)

Нуль в правой части этого неравенства есть не что иное, как интеграл по замкнутому контуру от дифференциала энтропии для обратимого цикла, т.е.

откуда, ввиду произвольности контура интегрирования, получаем

(3.14)

Это неравенство говорит о том, что изменение энтропии вещества в любом необратимом процессе всегда больше приведённой теплоты этого процесса.

(3.15)

Результаты (3.11), (3.14) объединим в одной записи, которую можно считать математической формулировкой второго начала термодинамики:

(3.16)

Здесь знак (=) относится к обратимым процессам, а знак (>) – к необратимым.