Закон сохранения движения центра масс

Рис.42

Рис. 41

Вторую составляющую вектора кинетического момента можно определить так же, как и момент силы относительно оси. Как и для момента силы, величина равна нулю, если вектор относительной скорости лежит в одной плоскости с осью переносного вращения.

Кинетический момент твердого тела относительно неподвижного центра можно определить как сумму двух составляющих: первая из них характеризует поступательную часть движения тела вместе с его центром масс, вторая - движение системы вокруг центра масс:

Если тело совершает поступательное движение, то вторая составляющая равна нулю

.

Наиболее просто вычисляется кинетической момент твердого тела при его вращении вокруг неподвижной оси

,

где - момент инерции тела относительно оси вращения.

Теорема об изменении кинетического момента механической системы при ее движении вокруг неподвижного центра формулируется следующим образом: полная производная по времени от вектора кинетического момента механической системы относительно некоторого неподвижного центра O по величине и направлению равна главному моменту внешних сил, приложенных к механической системе, определенному относительно того же центра

где - главный момент всех внешних сил относительно центра О.

При решении задач, в которых рассматриваются тела, вращающиеся вокруг неподвижной оси, используют теорему об изменении кинетического момента относительно неподвижной оси

Как и для теоремы о движении центра масс, теорема об изменении кинетического момента имеет следствия.

Следствие 1. Если главный момент всех внешних сил относительно некоторого неподвижного центра равен нулю, то кинетический момент механической системы относительно этого центра остается неизменным.

Следствие 2. Если главный момент всех внешних сил относительно некоторой неподвижной оси равен нулю, то кинетический момент механической системы относительно этой оси остается неизменным.

Теорема об изменении кинетического момента применяется для решения задач, в которых рассматривается движение механической системы, состоящей из центрального тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, и одного или нескольких тел, движение которых связано с центральным.. Связь может осуществляться при помощи нитей, тела могут перемещаться по поверхности центрального тела или в его каналах за счет внутренних сил. С помощью данной теоремы можно определить зависимость закона вращения центрального тела от положения или движения остальных тел.

Пример 12. Рассмотрим применение теоремы об изменении кинетического момента для определения внешнего момента, обеспечивающего равномерное движение ведущего звена механической системы. Механическая система (рис.42) состоит из однородной трубки CD длиной L, массы , образующей с осью вращения прямой угол и шарика массы .

В момент времени t =0 под действием внешнего момента трубка начинает вращаться вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью . Необходимо определить, каким должен быть этот момент, чтобы сохранялась постоянная угловая скорость вращения трубки CD. При решении пренебречь трением, массой стержня АВ и пружины.

Применим теорему об изменении кинетического момента, выбрав за ось z ось вращения АВ,

. (9)

Определим кинетический момент рассматриваемой системы относительно оси Az. Трубка (однородный прямолинейный стержень) совершает вращение вокруг оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец, имеет кинетический момент

,

где - осевой момент инерции трубки,

- угловая скорость вращения.

Шарик М совершает сложное движение - относительное вдоль трубки со скоростью и переносное вместе с трубкой. Переносная скорость перпендикулярна трубке и по модулю равна . При определении переносной скорости за начало отсчета координаты x принята точка С трубки, лежащая на оси вращения. Кинетический момент шарика относительно оси z равен , т.к. вектор пересекает ось z и его момент относительно этой оси равен нулю.

Кинетический момент всей системы равен

. (10)

Определим главный момент внешних сил относительно оси z. Силы тяжести трубки и шарика параллельны оси вращения и момента относительно этой оси не создают. Реакции опор пересекают ось вращения и момент этих сил относительно оси z также равен нулю. Силы динамического взаимодействия между шариком и трубкой, включая упругую силу пружины , есть силы внутренние. Поэтому

, (11)

где - внешний момент, обеспечивающий равномерное вращение трубки.

Подставляя (8) и (9) в уравнение теоремы об изменении кинетического момента системы (7), получаем:

,

откуда следует, что искомый внешний момент, обеспечивающий равномерное вращение трубки должен быть равен

.

Если в полученное соотношение подставить численные значения координаты x и относительной скорости , которые были получены в первом разделе курсовой работы, можно найти значение вращающего момента для любого момента времени и построить график изменения на исследуемом интервале времени.

Из теоремы о движении центра масс можно получить следующие важные следствия:

1) Пусть сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю

Тогда из уравнения следует, что или Следовательно, если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то центр масс этой системы движется с постоянной по модулю и направлению скоростью, т. е. равномерно и прямолинейно. В частности, если вначале центр масс был в покое, то он и останется в покое. Действие внутренних сил, как мы видим, движение центра масс системы изменить не может.

2) Пусть сумма внешних сил, действующих на систему, не равна нулю, но эти силы таковы, что сумма их проекций на какую-нибудь ось (например, ось Ох) равна нулю:

Тогда уравнение дает: или

Следовательно, если сумма проекций всех действующих внеш­них сил на какую-нибудь ось равна нулю, то проекция скорости центра масс системы на эту ось есть величина постоянная. В частности, если в начальный момент , то и в любой после­дующий момент , т.е. центр масс системы в этом случае вдоль оси Ох перемещаться не будет ().

Все эти результаты выражают собою закон сохранения движе­ния центра масс системы. Рассмотрим некоторые примеры, иллю­стрирующие его приложения.

а) Движение центра масс солнечной системы. Так как притяжением звезд можно практически пренебречь, то можно считать, что на солнечную систему никакие внешние силы не дей­ствуют. Следовательно, в первом приближении ее центр масс дви­жется в мировом пространстве равномерно и прямолинейно.

б) Действие пары сил на тело. Если на свободное твердое тело начнет действовать пара сил , то геометрическая сумма этих внешних сил будет равна нулю . Следовательно, центр масс С тела, если он вначале был неподвижен, должен остаться неподвижным и при действии пары. Таким образом, где бы к свободному твердому телу ни была при­ложена пара сил, тело начнет вращаться вокруг своего центра масс.

в) Движение по горизонтальной плоскости. При отсутствии трения человек с помощью своих мускульных усилий (силы внутренние) не мог бы двигаться вдоль горизонтальной пло­скости, так как в этом случае сумма проекций на любую горизон­тальную ось Ох всех приложенных к человеку внешних сил (сила тяжести и реакция плоскости) будет равна нулю и центр масс человека вдоль плоскости перемещаться не будет ().

Если, например, человек вынесет правую ногу вперед, то левая его нога скользнет назад, а общий центр масс останется на месте.

При наличии же трения скольжению левой ноги назад будет пре­пятствовать сила трения, которая в этом случае будет направ­лена вперед. Эта сила и будет той внешней силой, которая позволяет человеку перемещаться в сторону ее действия (в данном случае вперед).