Понятие дифференциала функции

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

Пусть функция у = f (x) имеет в точке х отличную от нуля производную . Тогда, по теореме о связи функции, ее предела

и бесконечно малой функции, можно записать , где α → 0

при ∆ x →0, или ∆ y=f ′(x) · ∆ x + α · ∆ x.

Таким образом, приращение функции ∆ у представляет собой сумму двух слагаемых f ′(x) ∆ x и α ∆ x, являющихся бесконечно малыми при ∆ x → 0.

При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с ∆ x, так как , а второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем ∆ x:

Поэтому первое слагаемое f ′(x)∆ x называют главной частью приращения функции ∆ y.

Определение. Дифференциалом функции у = f (x) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dy (или df (x)):

dy = f ′(x) · ∆ x, (*)

Дифференциал dy называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у = х.

Так как у ' = х ' = 1, то, согласно формуле (*), имеем dy = dx = ∆ х, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dx = ∆ х.

Поэтому формулу (*) можно записать так:

dy = f '(x) dx, (**)

иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Из формулы (**) следует равенство = f '(х). Теперь обозначение