Механический смысл производной второго порядка

Пусть материальная точка М движется прямолинейно по закону S = f (t). Как уже известно, производная равна скорости точки в данный момент времени: = V.

Покажем, что вторая производная от пути по времени есть величина ускорения прямолинейного движения точки, т. е. = а.

Пусть в момент времени t скорость точки равна V, а в момент t + ∆ t — скорость равна V + ∆ V, т. е. за промежуток времени ∆ t скорость изменилась на величину ∆ V.

Отношение выражает среднее ускорение движения точки за время ∆ t. Предел этого отношения при ∆ t → 0 называется ускорением точки М

в данный момент t и обозначается буквой a: , т. е. V ′ = а.

Но V = . Поэтому а = , т. е. а = .