Дифференциалы высших порядков

Таблица дифференциалов

1. ;

2. , в частности, ;

3. , в частности ;

4. , если у = f (x);

5. , если у = f (u), u = φ (x);

6. dc = 0;

7. ;

8. , в частности, ;

9. , в частности, ;

10. ; 16. ;

11. ; 17. ;

12. ; 18. u du;

13. ; 19. u du;

14. ; 20. ;

15. ; 21. .

Пусть у = f (x) дифференцируемая функция, а ее аргумент х - независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал dy = f '(x) dx есть также функция х; можно найти дифференциал этой функции.

Дифференциал от дифференциала функции у = f (x) называется ее вторым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) и обозначается d ² y или d ² f (x).

Итак, по определению d ² y = d (dy). Найдем выражение второго дифференциала функции у = f (х).

Так как dx = ∆ x не зависит от х, то при дифференцировании считаем dx постоянным:

,

т. e.

. (10.3)

Здесь dx ² обозначает (dx)².

Аналогично определяется и находится дифференциал третьего порядка:

.

И, вообще, дифференциал n - го порядка есть дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка: .

Отсюда находим, что . В частности, при n = 1, 2, 3 соответственно получаем:

.

т. е. производную функции можно рассматривать как отношение ее дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.

Отметим, что все приведенные выше формулы справедливы только, если х - независимая переменная. Если же функцию у = f (x), где х — функция от какой-то другой независимой переменной, то дифференциалы второго и выше порядков не обладают свойством инвариантности формы и вычисляются по другим формулам. Покажем это на примере дифференциала второго порядка.

Используя формулу дифференциала произведения (d(u*v)=v du+u dv), получаем:

,

т.e.

. (10.4)

Сравнивая формулы (10.3) и (10.4), убеждаемся, что в случае сложной функции формула дифференциала второго порядка изменяется: появляется второе слагаемое f '(x)· d ² x.

Ясно, что если х - независимая переменная, то и формула (10.4) переходит в формулу (11.3).