Правила Лопиталя. Теорема (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида )

Теорема (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида ).

Пусть функции f (х) и φ (x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x ₀и обращаются в нуль в этой точке: f (x ₀) = φ (x ₀) = 0. Пусть φ '(х) ≠ 0 в окрестности точки x ₀. Если существует предел , то .

Замечания:

1. Теорема верна и в случае, когда функции f (x) и φ (х) не определены при х = x ₀, но и . Достаточно положить

f (x ₀) = и φ (x ₀) =

2. Теорема справедлива и в том случае, когда х →. Действительно,

положив x = , получим .

3. Если производные f '(x) и φ '(x) удовлетворяют тем же условиям, что и функции f (x) и φ (x), теорему можно применить еще раз: и т. д.

Теорема. (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида ).

Пусть функции f (x) и φ (х) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x ₀ (кроме, может быть, точки x ₀), в этой окрестности , φ ′(x) ≠ 0. Если существует предел , то .