2014-02-03
1051
Теорема (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида 
).
Пусть функции f (х) и φ (x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x 0и обращаются в нуль в этой точке: f (x 0) = φ (x 0) = 0. Пусть φ '(х) ≠ 0 в окрестности точки x 0. Если существует предел 
, то 
.
Замечания:
1. Теорема верна и в случае, когда функции f (x) и φ (х) не определены при х = x 0, но 
и 
. Достаточно положить
f (x 0) = 
и φ (x 0) =
2. Теорема справедлива и в том случае, когда х →
. Действительно,
положив x = 
, получим 
.
3. Если производные f '(x) и φ '(x) удовлетворяют тем же условиям, что и функции f (x) и φ (x), теорему можно применить еще раз: 
и т. д.
Теорема. (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида 
).
Пусть функции f (x) и φ (х) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x 0 (кроме, может быть, точки x 0), в этой окрестности 
, φ ′(x) ≠ 0. Если существует предел 
, то 
.
