Синтез замкнутых систем управления по ошибке при заданной структуре системы

Предполагается что передаточные функции всех элементов системы, в том числе формирователя управляющего воздействия известны, но для формирователя известна общая формула передаточной функции, а конкретнее значения коэффициента подлежат определению в зависимости от поставленных требований к системе. В качестве формирователя управляющего воздействия достаточно часто используется ПИД – регулятор с передаточной функцией ,

,,- коэффициенты передачи пропорциональной, интегрирующей и дифференцирующей составляющей регулятора.

Управляющее воздействие на выходе регулятора

Выбор составляющих регулятора определяется из следующих соображений:

- пропорциональная часть формирует управляющие воздействие пропорционально величине ошибки () и она убирает основную часть ошибки;

- интегральная составляющая необходима для сведения ошибки к 0 в установившемся режиме, т.к. какая бы не была мала ошибка, интеграл со временем может стать достаточно большим. Эта же составляющая накапливает некоторое постоянное (номинальное) значение в управлении, соответствующее номинальному значению задания;

- дифференциальная составляющая упреждает нарастание ошибки, поскольку она пропорциональна скорости и даже при малых значениях ошибки, когда первые две составляющие незначительны, скорость может быть большая, и если не упредить нарастание ошибки, то она также может возрасти до больших значений.

Задача синтеза заключается в определении ,,. Они могут подбираться путем анализа частотных характеристик, либо чаще всего рассчитываются из условия достижения экстремума некоторых показателей качества регулирования: минимума времени переходного процесса при ограничении на величину управляющего воздействия, величину перерегулирования, минимума интегральной квадратичной ошибки при ограничениях на прямые показатели и т.д.

Для того, чтобы решить задачу поиска коэффициентов, а именно определить minI(K)(вектор коэффициентов К) из области допустимых значений, обеспечиваемых минимум критерия J необходимо выразить этот критерий как функцию от ,,а затем записать и решить относительно этих коэффициентов систему уравнений:

Если найденный вектор попадает в область допустимых значений и выполняются все ограничения – задача решена. Чаще задачу решают численным методом, поскольку выразить аналитически критерий через коэффициенты Ки, Кд и Кп достаточно сложно, точка экстремума может находиться вне области допустимых значений коэффициентов, экстремальные коэффициенты не обеспечивают выполнение ограничений.

Чтобы решить задачу численным методом необходимо записать систему уравнений для всех элементов системы уравнения, включая объект, датчик, исполнительный механизм, передатчик и регулятор, преобразовать в конечно- разностную форму дифференциальные уравнения, задать начальные значения коэффициентов, решить систему уравнений для интервала времени (0;t), в течение которого переходный процесс с погрешностью ∆ сходиться к установившемуся значению, и вычислить значение критерия I.

Например, для средней квадратичной ошибки

Изменяя значения коэффициентов ,,в соответствии с выбранным методом поиска экстремума, вычисляя новые значения критерия и сравнивая с предыдущими, находим набор коэффициентов, обеспечивающий экстремальное значение критерия и выполнение ограничений.

Алгоритм для метода покоординатного спуска

1.Задаем начальные значения Кп, Ки, Кд, начальный шаг изменения коэффициентов ∆К, допустимую погрешность поиска экстремума е_доп, вычисляем I_.

2. Изменяем Кп=Кп+∆К. Вычисляем критерий, сравниваем с предыдущим. Если критерий уменьшился – снова изменяем Кп, вычисляем I, сравниваем с предыдущим и так до тех пор пока не произошло увеличение критерия или значение коэффициента не вышло за допустимую область, тогда переходим к следующему пункту; если же на первом шаге критерий увеличился или значение коэффициента вышло за допустимую область, изменяем знак ∆К, вычисляем Кп=Кп+2∆К, находим значение критерия и сравниваем с предыдущим. Если критерий не изменился, или увеличился, или значение коэффициента вышло за допустимую область – переходим к п.3, если уменьшился, повторяем вычисления Кп=Кп+∆К и I до тех пор, пока не произойдет увеличение или значение коэффициента не выйдет за допустимую область, тогда переходим к следующему пункту.

3. Возвращаем предыдущее значение Кп, т.е. Кп=Кп-∆К, и предыдущее значение критерия (наименьшее из найденных)

4. Аналогично п.2, 3 изменяем Ки и Кд. Проще всего при программной реализации индексировать коэффициенты (К₁, К₂, К₃) и изменять индекс в цикле.

5. Если при прохождении п.2, 3, 4 критерий улучшался, возвращаемся к п.2, если же улучшения не было, то уменьшаем шаг ∆К (обычно в 2 раза) и возвращаемся к п.2. Уменьшение шага производится до тех пор, пока он не станет меньше заданной погрешности оценки экстремума ∆К<е_доп.

После расчёта коэффициентов необходимо построить переходный процесс, функцию ошибки и управления чтобы проверить выполнение ограничений.