double arrow

Методы линейного программирования


Пример

Дана система в виде:

Построит регулятор системы такой, что после замыкания обратной отрицательной связью система должна иметь следующие корни характеристического уравнения:

, ;

запас устойчивости .

Решение:

  1. ; ; ; ;

    ;
    ; ;
    .
  1. ;
    ;
    ;
    ; ; ; ;
    ; ;

    Характеристический многочлен (метод Гурвица)
    ;
    ;
    ;
    ;
    ;
    ;
  1. ; ;

  1. ;
    ; ; ; ;
    При условии если матрица динамики находится в форме Калмана, тогда
    ;
    ;
  1. Если исходная система находится в форме Калмана, то матрица имеет вид
    ;
    – единичная матрица, если в форме Калмана
    ;
    .

Исследование операций – комплекс научных методов, предназначенных для анализа и обоснования решений во всех областях целенаправленной деятельности человека

(широко используется для разработки ERP-систем Enterprise Research Planning).

Операция – это любое мероприятие или система действий объединенная единым замыслом и направленной к достижению единой цели.

Операция должна быть управляемой, т.е. должны существовать возможности воздействия на операции с целью выбора лучшего способа ее осуществления.

Решением называется всякий определенный способ осуществления операции.

Оптимальным решением называются те решения, которые по тем или иным соображениям предпочтительнее других.




Качество или эффективность операции – это свойство характеризующее степень приспособленности операции к выполнению поставленной задачи (требования).

Показатель качества операции – количественная мера качества операции.

Основные этапы исследования операции:

  1. Постановка задачи;
  2. Построение модели операции;
  3. Поиск решения;
  4. Корректировка модели;
  5. Реализация.

Модели операции

Модель – приближенное описание операции (один и тот же объект может иметь много различных моделей).

;

; - вектор управляемых переменных

- вектор неуправляемых переменных

Требования к модели:

  1. Модель должна обеспечивать достаточную точность оценки критериев во всей области возможных решений
    ; (омега – область допустимых значений)
  2. Модель должна использовать только ту информацию, которая доступна;
  3. Модель должна быть достаточно простой, чтобы ее использование было возможно и целесообразно при исследовании операций.

Типы моделей:

  1. Описательная модель
    • сценарии;
    • таблицы;
    • анкеты.
  1. Графические модели
    • блок-схемы;
    • графы состояний;
    • сети;
    • деревья.
  1. Физические модели
    • аналоговые модели;
    • масштабные модели.
  1. Математические модели
    • аналитические;
    • имитационные модели.

Этапы построение моделей:

  1. Определение множества переменных, которые существенно влияют на показатели эффективности операции;
  2. Выбор структуры, вида модели
    Например,
    (функционал зависит от ряда функций)
    – обобщенный критерий.
  3. Оценка параметров коэффициентов ;
  4. Поиск решений.

Поиск решений



Задача заключается в поиске значений , который обеспечивает наибольшую эффективность операции в соответствии с целевой функцией при выполнении ограничений

.

Варианты задачи поиска решений

  1. Известны значения переменных , , которые заданы следующим образом:
    ;
  2. , линейны по , тогда методами решения этой задачи являются методы линейного программирования;
  3. Если хотя бы одна из них не линейна по , то применяют методы нелинейного программирования;
  4. Если хотя бы одна из переменных , где дискретна, то используют методы дискретного целочисленного программирования;
  5. Если переменные случайные величины и известны законы их распределения, то модель называется вероятностной и вместо детерминированной величины используют некоторые характеристики распределения случайной величины;
  6. Если полностью неизвестная величина, то тогда методом поиска решения называются методы принятия решений в условиях неопределенности;
  7. Если является результатом активного действия противника, то поиск решения осуществляется на основе математического аппарата теории игр.

Корректировка модели

  1. Анализ модели с точки зрения разумности и приемлемости полученных решений;
  2. Анализ чувствительности моделей к малым вариациям исходных данных. (малые изменения исходных данных не должны резко менять решение).

Пример (продавец газет)

Пусть

– число газет, взятых продавцом;

– прибыль за проданную газету;
– убытки за непроданную газету;



– спрос на газеты;

– плотность распределения спроса;

с – средняя прибыль, показатель эффективности продажи газет.

Составить математическую модель.

Дано:

, ; - количество продавцов

, ; - спрос (неуправляемая переменная, случайная величина)

;

. - (мат. ожидание)

Решение:

Два случая:

1. все газеты продаются ;

2. газеты не продаются .

;

.







Сейчас читают про: