Лекция № 8. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, связь между ними

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, связь между ними.

Определение 1. Последовательность называется бесконечно-малой последовательностью, если , т.е. если

.

Определение 2. Последовательность называется бесконечно-большой последовательностью, если (это записывается еще и так: , не учитывая знака перед ), т.е. если

.

Изучим некоторые свойства этих последовательностей.

1⁰. Сумма и разность бесконечно-малых последовательностей есть также бесконечно-малая последовательность.

Доказательство:

- б.м.п. =>

- б.м.п. =>

Возьмем. Тогда

откуда следует, что есть б.м.п.

Следствие. Сумма любого конечного числа б.м.п. ест также б.м.п

2⁰. Произведение б.м.п на ограниченную последовательность есть б.м.п.

Доказательство:

- ограничена. =>

- б.м.п. =>

.

Но тогда

отсюда и следует, что есть б.м.п.

3. Б.м.п. ограничена

Доказательство:

Пусть - б.м.п. Тогда .

Возьмем .

Тогда т.е. ограничена.

Следствие. Произведение б.м.п. есть также б.м.п.

4. Пусть - б.м.п. и . Тогда есть б.б.п.

Доказательство:

- б.м.п => .

Возьмем любое и положим .

Тогда

отсюда следует, что есть б.б.п.

5. Пусть - б.б..п, тогда есть б.м.п.

- б.б.п => .

Возьмем любое и положим

Тогда

отсюда следует, что есть б.м.п.

Определение 3. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа , как бы велико оно ни было, существует такой номер , что для всех с номерамисправедливо неравенство , записываем .

1. Если – бесконечно большая, то последовательность – бесконечно малая. Если последовательность – бесконечно малая, то последовательность – бесконечно большая.

2. Если последовательности и – бесконечно большие одного знака, то их сумма – бесконечно большая того же знака.

3. Если последовательности – бесконечно большая, а последовательность – ограниченна, то их сумма – бесконечно большая последовательность.

4. Если последовательности и – бесконечно большие, то их произведение – бесконечно большая последовательность.

5. Если последовательность – бесконечно большая, а последовательность – сходящаяся, причем , то их произведение – бесконечно большая последовательность.

7. Если последовательность – бесконечно большая и для любого имеет место неравенство (), то последовательность тоже является бесконечно большой.

Т. Если какая-то последовательность является бесконечно малой, то последовательность

является бесконечно - большой последовательностью.