Краткие конспекты лекций. Лекция 1. Основы тензорного исчисления и анализа

Краткие конспекты лекций

 

Лекция 1

 

Многие характеристики движения сплошной среды имеют тензорную природу, поэтому рассмотрим основы тензорного исчисления и анализа в пределах, необходимых для изучения данного курса.

Система координат устанавливает соответствие между числами и точками пространства. В каждой точке трехмерного евклидового пространства есть три координатные линии, в частности, инерционной системы наблюдателя  и сопутствующей системы координат .

Пусть в трехмерном евклидовом пространстве задана тройка линейно- независимых векторов

,                                                                   (1.1)

которые называют основными векторами базиса. Здесь - радиус- вектор точки М пространства. Если система координат декартовая, то . Базисом, сопряженным по отношению к , называется тройка векторов , удовлетворяющих требованиям , где  - символ Кронекера, равный единице при i=j и нулю при i¹j. Легко заметить, что  просто выражаются через , а именно

.                                (1.2)

Вектор  можно рассматривать как элемент векторного пространства, представленный в виде разложения по векторам основного или сопряженного базиса

            .                                                                  (1.3)

Из линейного разложения (1.3) легко усмотреть, что  и . Таким образом, равенство (1.3) можно записать в виде

         .                                                     (1.4)

Заметим, что компоненты  называются контровариантными, а компоненты - ковариантными.

Применим (1.4) к базисным векторам , это приводит к формулам

,

где  и  называются компонентами метрического тензора, который является симметричным,  и .

Если метрический тензор известен, то расстояние между точками  и и углы между векторами  и  будут

В таком случае говорят, что определена метрика данного пространства.

Пусть каждой паре векторов  исходного трехмерного пространства, которые можно задать с помощью компонент, например, контравариантных соответствует единственным образом некоторый элемент  (9-мерного пространства), т.е.

                     ,                                                 (1.5)

называемый тензорным произведением векторов  и .

По числу и расположению свободных индексов можно судить о тензорном характере величины, выраженной в индексных обозначениях. Так, символ, который не имеет связанного с ним индекса, изображает скаляр, или, тензор нулевого ранга (например, плотность r, давление p, температура ). Тензоры первого ранга (векторы скорости и ускорения ) обозначаются основными буквами с одним свободным индексом, например, Тензоры второго ранга обозначаются символами с двумя свободными индексами, например, тензоры деформаций , скоростей деформаций  и напряжений .

 

Следует отметить, что все операции над тензорами инвариантны, т.е. не зависят от преобразований системы координат. Причем имеют место только такие операции, после которых получается опять тензор.

а) Перестановка индексов.

Если в рассматриваемом тензоре  провести перестановку индексов и получить новый объект , то последний определяет также тензор, в силу того, что перестановка является инвариантной

б) Сложение (вычитание) тензоров.

Складывать можно тензора одной и той же валентности. Например, если  то

т.е. сумма (вычитание) двух тензоров есть тензор той же валентности.

в) Умножение тензора на число, например, .

г) Симметрирование и альтернирование.

Если имеется тензор второго ранга , то операция, дающая также тензор второго ранга  называется симметрированием, т.е.

В результате операции  получается тензор второго ранга . Такая операция носит название – альтернированием, а тензор – антисимметричным тензором.

Следовательно, всегда имеет место соотношение вида

.

д) Поднятие и опускание индексов.

Эта операция производится с помощью метрического тензора. Так, для операции опускания индексов имеем .

При поднятии индексов получаем, например, .

Введем понятие градиента тензора с помощью символического вектора (оператора) Гамильтона (набла), который равен

.

Например, градиент тензора нулевого ранга (температуры) есть .

Итак, градиент тензора есть тензор валентности на единицу большей, чем валентность исходного тензора.

Дивергенцией тензора называется скалярное произведение символического вектора  (набла) на этот тензор. Например, дивергенция вектора  есть скаляр.

.

В случае декартовой системы координат

.

Ротором тензора называется векторное произведение символического вектора  на этот тензор, а именно, псевдотензор. Например, в случае декартовой системы координат ротор вектора  есть псевдовектор

Оператором Лапласа (лапласианом) называется дифференциальный оператор . Например, оператор от температуры  (тензор нулевого ранга) есть лапласиан вида  .