Выражение тензора деформаций через компоненты вектора перемещения

Лекция 5

Выражение тензора деформаций через компоненты вектора перемещения

 

Рассмотрим случай, когда начальное состояние может реально осуществляться и его метрика как и метрика является евклидовой. В этом случае можно ввести вектор перемещения   а именно  где - радиусы – векторы относительно системы отсчета  одной и той же точки M сплошной среды в начальный момент времени и в данный момент  соответственно.

Нетрудно получить

откуда    или

поэтому

 

 

и

Следовательно,

                                                                                                                  (5.1)

 

где первые производные от  по координатам  характеризуют относительные перемещения точек сплошной среды.

Вектор перемещения можно разложить как в актуальном пространстве, , так и в начальном и соответственно этому ввести два сорта компонент одного и того же вектора

можно ввести и два сорта ковариантных производных

                   и .                           (5.2)

Подставим первое из (5.2) в (5.1), получим

.

Так как компоненты метрического тензора можно, не меняя результата, вводить под знак ковариантной производной, имеем

                      .                              (5.3)

Аналогично, с помощью второго равенства из (5.2) и (5.1) получим

                           .                                 (5.3)

В случае бесконечно малых относительных перемещений после отбрасывания квадратичных по членов получим

                  .                          (5.4)

В декартовой системе координат

                                 .                                             (5.5)

 

 

Лекция 6