Метод Эйлера

С другой точкой зрения, называемой именем Эйлера, объектом изучения является не сама среда, а неподвижное пространство, заполненное движущейся средой. Изучаются изменения различных тензорных характеристик среды в фиксированной точке пространства с течением времени и изменения этих характеристик при переходе в фиксированный момент времени к другим точкам пространства. Иначе говоря, различные характеристики движения, рассматриваются как функции координат точки и времени t. Переменные называются переменными Эйлера.

Поле вектора перемещений. Компоненты вектора перемещений в переменных Эйлера определяются формулами

Поле перемещений называют стационарным, если вектор перемещения в каждой точке не зависит от времени, т.е. и нестационарным в общем случае когда

Поле вектора скорости. Рассмотрим поле скоростей Значения компонент скорости в переменных Эйлера получим из формул (3.1).

Поле скоростей называют стационарным, а движение среды установившимся, если вектор скорости не зависит от t в каждой точке поля

или .

В общем случае, когда скорость зависит и от координат и от времени скоростное поле называют нестационарным, а движение среды – неустановившимся.

Поле вектора ускорения. Ускорение частицы определяется как индивидуальная производная по времени от вектора скорости

Локальная производная называется локальным ускорением и оно характеризует изменение скорости в каждой точке пространства (неподвижного). Конвективная производная называется конвективным ускорением и оно характеризует изменение скорости при переходе от одной точки пространства к соседним точкам.

Взаимосвязь методов Лагранжа и Эйлера

Пусть известно движение среды в переменных Лагранжа. Это значит, что установлены значения перемещений, скоростей, температуры, уравнение движения и т.д. как функции переменных Лагранжа:

и т.д.

Чтобы перейти к переменным Эйлера, разрешим уравнения движения относительно переменных Это можно сделать, ибо во время движения.

Тогда имеем

Подставив значения лагранжевых координат в формулы найдем перемещение, скорость, температуру и т.д., как функции переменных Эйлера:

и т.д.

Наоборот, пусть движение среды задано в переменных Эйлера. т.е. известны все характеристики среды, в том числе и скорость, как функции переменных

На уравнение, определяющее компоненты скорости

можно смотреть как на систему трех линейных дифференциальных уравнений относительно функций . Проинтегрировав эту систему, найдем величину как функции t и трех постоянных

Значения постоянных определяются из начальных условий ( при ) и, следовательно, эти постоянные являются параметрами, индивидуализирующими точку сплошной среды – переменными Лагранжа.

Линии, касательные к которым в каждой точке пространства будут совпадать в данный момент с направлением вектора скорости в этой точке, называются линиями тока.

Запишем условие того, что элемент

взятый вдоль линии тока и вектор скорости

параллельны друг другу, т.е.

где - скалярный параметр. В компонентах получаем

или

. (3.5)

Это и есть дифференциальные уравнения линий тока. Они отличаются от дифференциальных уравнений траектории движения частиц среды, которые, как известно, имеют вид

. (3.6)

Причем, при интегрировании (3.5) t следует рассматривать как постоянный параметр, а в уравнениях (3.6) t необходимо считать переменным.

Таким образом, линии тока, вообще говоря, не совпадают с траекториями. Семейство линии тока зависит от времени и в разные моменты времени разное. Однако параметр входит в правые части (3.5) и (3.6) только в случае неустановившихся движений. В случае установившихся движений разница между уравнениями (3.5) и (3.6) пропадает, она сводится только к разному обозначению параметра по которому проводится дифференцирование, что не играет никакой роли.

Поэтому в случае стационарного движения линии тока и траектории совпадают.

Как для всякого векторного поля, для поля вектора вихря скорости можно ввести понятие вихревых линий и трубок. Вихревой линией называется линия, касательная к каждой точке которой совпадает с направлением вектора вихря . Дифференциальное уравнение вихревых линий имеет вид