double arrow

Главные оси и главные компоненты тензора деформаций

 

С каждым симметричным тензором, в том числе и с тензором деформаций, можно связать квадратичную форму . Известно, что в каждой точке можно найти такую ортогональную систему координат  в которой квадратичная форма  приведется к виду

Преобразование от  к  зависит от компонент , поэтому соответствующий ортогональный триэдр  при движении будет, вообще говоря разным, в различные моменты времени.

Если взять в пространстве  ортогональные оси , ,  и, если в результате движения они перейдут в пространстве в такие направления осей  для которых вектора базиса тоже будут ортогональны, то такие оси называются главными осями тензоров деформаций.

Для таких осей  компоненты  при равны нулю и, следовательно, углы скошения  так как оси  остаются ортогональными. В таких осях в силу их ортогональности, = = =0 при .

Таким образом, углы между главными осями не скашиваются, и ортогональный триэдр главных осей перемещается как абсолютное твердое тело, т.е. смещается поступательно и поворачивается. При этом элементы , взятые вдоль главных осей, во время движения могут сжиматься или растягиваться.

Соответствующие компоненты тензоров  и в этих системах являются главными компонентами. В общем случае тензоры деформаций имеют разные главные компоненты, т.е. ¹ , но между ними существует определенная связь.

Относительно главных направлений имеем

,

откуда, в частности, легко получить, что

.

Так как , можно получить выражение для коэффициента относительного удлинения, т.е.

   или .                        (6.1)

Назовем коэффициентом объемного расширения   величину относительного изменения объема

.

Так как  то для  можно придать другой вид

                                                 (6.2)

Величина определяется как инвариантная геометрическая характеристика. В случае бесконечно малых деформаций имеем

 

.                                           (6.3)


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: