Результаты предыдущих рассуждений приводят к теореме Коши-Гельмгольца о разложении скорости точек

Результаты предыдущих рассуждений приводят к теореме Коши-Гельмгольца о разложении скорости точек бесконечно малой частицы сплошной среды: «Любое движение элементарного объема сплошной среды можно в данное мгновение рассматривать как результат сложения двух движений: квазитвердого, состоящего из поступательного и вращательного движений, и деформационного», а именно

Лекция 8

Массу можно ввести как для всего объема , так и для любой его частицы, т.е. и . Тогда

В МСС вместо массы вводится понятие плотности среды , которая определяется следующим образом. Отношение

есть среднее распределение массы или средняя плотность вещества в объеме . Истинная плотность среды в данной точке определяется как следующий предел

Плотность среды является скалярной функцией переменных Лагранжа и Эйлера, т.е.

Очевидно, при заданной плотности среды масса элементарного объема этой среды определяется как , а масса всего тела объема

Так как изменение со временем всякой величины характеризуется индивидуальной производной по времени, то закон сохранения массы математически записывается в виде

или . (8.1)

Пусть , тогда принцип сохранения массы (4.1) при учете, что и , где - якобиан преобразований координат, запишется в виде .

Действительно, внося производную по времени под знак интеграла, получим

Откуда, в силу произвольности выбора объема имеем

. (8.2)

Это дифференциальное уравнение и является уравнением неразрывности в дифференциальной форме в переменных Лагранжа.

Найдем теперь вид уравнения неразрывности в эйлеровых переменных. Если воспользоваться в (8.1) правилом дифференцирования, установленного в тензорном анализе интеграла, взятого по подвижному объему, при соблюдении закона сохранения массы, будем иметь

В силу произвольности выбора объема, получаем основное дифференциальное уравнение МСС

(8.3)

которое носит название уравнения неразрывности в переменных Эйлера. Используя правило векторного анализа и определение индивидуальной производной, можно переписать (4.3) в виде