Объемные и поверхностные силы. Тензор напряжений

Лекция 9

Силы, распределенные по объему или по всей массе, называются объемными или массовыми силами.

Обозначим через главный вектор массовых сил, действующих на элемент массы . Тогда вектор плотности распределения массовой силы в данной точке есть

Предполагается, что вектор плотности силы зависит от выбранной точки и времени, т.е.

Эффект действия массовых сил на деформируемую сплошную среду объема выражается через главный вектор и главный момент

В МСС основную роль играют не массовые, а поверхностные силы. Поверхностными силами называются силы, распределенные по поверхности сплошной среды.

Обозначим через главный вектор поверхностных сил, действующих на элементарную площадку . Тогда соотношение

определяет вектор плотности распределения поверхностных сил, действующих на площадку .

Примерами могут служить силы вязкого взаимодействия двух касающихся объемов и , силы давления, архимедова сила и др. Вектор называют также вектором напряжений на данной площадке .

Относительно вектора плотности поверхностных сил принимается, что он зависит только от времени, от взятой точки и от направления нормали к поверхности в этой точке, но не зависит от вида самой поверхности, т.е.

Эффект действия поверхностных сил на все тело характеризуется главным вектором и главным моментом: , .

Докажем, что вектор напряжений можно представить как произведение орта на тензор второго ранга, который является функцией только координат и времени.

Для этого рассмотрим вырезанный в среде элементарный тетраэдр с вершиной в точке.

Обозначим площадь треугольника АВС через а площади треугольников ВМС, АМС и АМВ соответственно причем индексы 1,2,3 при этих площадках, так

же как и при напряжениях приложенных к этим площадкам, означают ось координат, перпендикулярную к данной площадке

Рассматривая взятый бесконечно малый тетраэдр как абсолютно твердое тело, напишем уравнение движения центра инерции этой системы, общая масса которой пусть равна , а именно

, (9.1)