Теорема и уравнение об изменении кинетической энергии

Возьмем вектор - вектор перемещения бесконечно малого объема сплошной среды за время ; умножим скалярно уравнение импульсов 10.2 на и проинтегрируем по объему . Получим

. (11.1)

Преобразуем каждый из входящих в это соотношение интегралов. Так как масса постоянна, то, очевидно, что

Массовые силы разобьем на две группы: - внутренние и - внешние по отношению ко всему объему . Тогда

где - элементарные работы внешних и внутренних массовых сил, действующих на объем с массой при бесконечно малом перемещении.

Заметим, что сумма всех внутренних массовых сил равна нулю, а работа этих сил может отличаться от нуля.

Последний интеграл в выражении (5.1) запишем в виде следующих двух интегралов

В силу очевидного тождества

и воспользовавшись формулой Гаусса –Остроградского, получим

В силу антисимметрии тензора имеем

Поэтому в классическом случае последний интеграл равен нулю.

Так как можно записать

где через обозначена работа внешних поверхностных сил. Работой внутренних поверхностных сил напряжений в объеме назовем интеграл

являющийся инвариантной величиной.

Таким образом, равенство (11.1) можно записать в виде

, (11.2)

Лекция 12

Первый закон термодинамики. Уравнение притока тепла.

Рассмотрим систему, которая характеризуется конечным числом определяющих параметров. Будем подразумевать, что с точки зрения данных о характеристиках внутреннего состояния частицы и их бесконечно малых изменений можно судить о различных суммарных макроскопических притоках энергии к частице извне. Полный внешний приток энергии для элементарного процесса к бесконечно малому объему среды можно представить в виде суммы

где - элементарная работа внешних макроскопических массовых и поверхностных сил, - элементарный приток тепла к телу извне, а - элементарный приток энергии за счет других источников притока энергии (химической реакции, ионизации, диссипации и т.д.).

Первый закон термодинамики, или закон сохранения энергии, можно сформулировать как невозможность осуществления вечного двигателя первого рода, т.е. циклически работающей машины, которая могла бы служить источником полезной энергии, без использования какого-либо внешнего по отношению к этой машине источника энергии. Таким образом, из первого закона термодинамики следует, что существует функция состояния , полный дифференциал которой для осуществимых процессов равен сумме элементарных работ внешних массовых и поверхностных макроскопических сил и элементарных притоков к системе извне других видов энергии, т.е.

, (12.1)

которое используется для определения полной энергии системы . И, наоборот, если энергия известна, то (12.1) можно использовать для выяснения механизма взаимодействия элементарного объема с внешними телами, т.е. для определения и .

Положим

где - скалярная функция параметров состояния, называемая плотностью внутренней энергии. Плотность внутренней энергии или удельная внутренняя энергия , как и полная энергия системы , определяется с точностью до аддитивной постоянной и существует для каждой термодинамической системы. Полная энергия произвольного объема сплошной среды определяется следующим образом

Таким образом, универсальное соотношение, выражающее собой закон сохранения энергии, можно представить в виде

, (12.2)

где - изменение внутренней энергии рассматриваемого тела, - изменение его кинетической энергии.

Вычитая из соотношения (12.2) равенство (11.2), выражающее теорему живых сил для сплошной среды, получим уравнение

(12.3)

или

которое носит название уравнения притока тепла и может заменить собой закон сохранения энергии.

Уравнение притока тепла (12.3) можно записать для любых мысленно выделенных объемов сплошной среды.

Составим его для бесконечно малого объема . Для плотности внутренней энергии имеем

(предполагается, что такой предел существует). Аналогично введем элементарные притоки внешних энергий к единице массы среды

, .

Разделив (12.3) на и устремив к нулю, запишем дифференциальное уравнение притока тепла в виде

, (12.4)

. (12.5)

Лекция 13

Второй закон термодинамики. Уравнение для энтропии.

Второй закон утверждает, что невозможно устройство, которое переводило бы тепло от тела с меньшей температурой к телу с большей температурой без каких-либо изменений в других телах. Т.е. второй закон термодинамики характеризует направленность термодинамических процессов.

Обобщенная количественная формулировка второго закона сводится к утверждению существования функции состояния энтропии и абсолютной температуры таких, что для произвольных вообще необратимых процессов имеет место равенство

где - так называемое некомпенсированное тепло. По определению принимается, что , причем знак равенства имеет место для обратимых процессов, а неравенство – для обратимых.

В случае обратимого процесса второй закон термодинамики имеет, таким образом, выражение

Фиксируя точку начального состояния системы для любого состояния , в которое можно перейти из состояния обратимыми путями

Если система теплоизолированная, но может подвергаться любым силовым воздействиям, то процессы, в которых она участвует, называются адиабатическими.

В этом случае внешний поток тепла к системе равен нулю . В случае обратимых адиабатических процессов

поэтому

Обратимые адиабатические процессы являются изэнтропическими. Наоборот, если обратимый процесс изэнтропический, т.е. , то и процесс является адиабатическим.

Если же процесс адиабатический и необратимый, то , и энтропия, если она изменяется, может только расти, так как .

Лекция 14

Идеальная несжимаемая жидкость. Идеальный совершенный газ.

Вязкая несжимаемая жидкость.

В ряде случаев можно считать, что эффекты вязкости пренебрежимо малы. Для такой жидкости коэффициенты и раны нулю и закон поведения среды принимает вид

(14.1)

Жидкость с определяющим уравнением такого вида называется идеальной жидкостью.

Динамическое уравнение движения сплошной среды ввиду условия запишется для идеальной жидкости следующим образом.

. (14.2)

Последнее эквивалентно трем скалярным уравнениям Эйлера

(14.3)

где

К этим уравнениям следует прибавить уравнение неразрывности в виде условия несжимаемости

(14.4)

Система уравнений (14.3) и (14.4) является замкнутой и определяет модель идеальной несжимаемой жидкости.

В декартовой системе координат система уравнений (14.3) и (14.4) имеет вид

Примером модели идеальной сжимаемой жидкости может служить модель идеального совершенного газа, которую задают обычно двумя функциями:

(14.5)

В этом случае, если массовые силы и внешний приток тепла заданы, то уравнение притока тепла

, (14.6)

уравнение неразрывности (14.4) и три уравнение движения Эйлера (14.3) представляют собой замкнутую систему для определения шести неизвестных скалярных функций и .

Количество тепла, поступающее к единице массы среды за время , равно

, (14.7)

где вектор называется вектором потока тепла. Поток тепла для большинства изотропных сред связан с полем температуры законом Фурье

(14.8)

где l - коэффициент теплопроводности является функцией температуры . практически очень важный простой случай, когда l=const. Тогда, для притока тепла на единицу массы газа, из формулы (6.13) на основе (6.14) получим

или

где - оператор Лапласа.

Таким образом, уравнение притока тепла для идеального совершенного газа в том случае, когда приток тепла обусловлен теплопроводностью по закону Фурье и , будет иметь вид

. (14.9)

Рассмотрим изотермические движение однородной вязкой несжимаемой жидкости. Следствием требования несжимаемости и однородности является постоянство плотности жидкости

Жидкость вязкая, если тензор напряжений связан с тензором скоростей деформаций законом Навье-Стокса. Следовательно, поверхностная сила, кроме нормальной имеет еще и касательную составляющую.

Для изотермических процессов можно принять, что коэффициенты вязкости имеют постоянные значения. С учетом этого и условия несжимаемость следует