2021-07-31
95
Выдающийся немецкий астроном, математик и механик Иоганн Кеплер (1571 – 1630 г.г.), обрабатывая результаты многолетних наблюдений за движением небесных тел, которые проводились в обсерватории известного датского астронома Тихо Браге, сформулировал три закона движения планет Солнечной системы. Позже Ньютон в своем труде «Математические начала натуральной философии», основываясь на эмпирических законах Кеплера
вывел закон тяготения планет к Солнцу, математически показав, что центральная сила тяготения является причиной движения планет по эллиптическим орбитам.
1-ый закон Кеплера: все планеты Солнечной системы движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце.
Аналитическое выражение 1-го закона Кеплера получим, обратившись к формуле Бине (11.29), полагая, что согласно закону всемирного тяготения Ньютона, сила тяготения 
определяется равенством
где 
массы Солнца и планеты; 
постоянная тяготения.
В результате будем иметь
|
|
|
Интегрируя это уравнение, находим
;
или
(11.30)
Здесь
;
постоянные интегрирования.
Уравнение (11.30) описывает траекторию движения материальной точки в полярных координатах. Как видно, это – коническое сечение с фокусом в начале координат. При 
траекторией точки является эллипс, при 
окружность, при 
парабола, а при 
гипербола (рис. 11.7). Вид траектории зависит от начальных условий. Так, при запуске космического аппарата (КА), чтобы обеспечить движение по круговой орбите относительно Земли, ему необходимо сообщить 1-ую космическую скорость, равную 7,91 км/сек. Если КА сообщить 2-ую кос-
Рис. 11.7. мическую скорость, равную 11,2 км/сек, то он, пре-
одолев притяжение Земли, будет двигаться по пара-
болической орбите. При скорости более 11,2 км/сек траекторией движения
КА будет гипербола.
2-ой закон Кеплера: площади, которые описывают радиус-векторы планет относительно Солнца, пропорциональны временам движения планет.
Это – закон площадей, о котором шла речь выше и который был выведен из теоремы об изменении момента количества движения точки для случая центральной силы. Согласно 2-ому закону Кеплера планеты Солнечной
системы движутся по орбитам неравномерно, имея большую линейную скорость в перигелии (ближайшая к Солнцу точка орбиты), чем в афелии (наиболее уда-ленная от Солнца точка орбиты). Так Земля в первых числах января, проходя через пе-ригелий, движется по орбите быстрее, чем в начале июля, когда она находится в районе
|
|
|
Рис. 11.8. афелия (рис. 11.8).
3-ий закон Кеплера: квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца пропорциональны кубам больших полуосей орбит планет.
При выводе уравнения (11.30) было использовано обозначение для постоянной p, которая определяла фокальный параметр конического сечения.
При движении планеты по эллиптической траектории фокальный параметр эллипса, как известно, связан с большой а и малой b полуосями выражением
(11.31)
Сравнивая равенство (11.31) с обозначением постоянной p в выражении (11.30), находим
(11.32)
Представим удвоенную секторную скорость в виде
(11.33)
где 
площадь эллипса; Т – период обращения планеты по орбите.
Подставив выражение (11.33) в равенство (11.32), получим аналитическое выражение 3-го закона Кеплера
Постоянную
;
называют гравитационной постоянной Гаусса.
