Потенциальное силовое поле

 

       Как уже отмечалось, в общем случае действующие на материальную точку силы являются функциями времени t, радиус-вектора точки  и ее скорости . Силы, которые не зависят от скорости, называются позицион-ными силами. Для позиционных сил вводят понятие силового поля. Модули и направления сил, действующих на материальную точку, зависят от того, какое место в силовом поле в данный момент времени занимает матери-альная точка. Если сила в каждой точке поля с течением времени остается постоянной, то силовое поле называют стационарным. Стационарное силовое поле, для которого существует силовая функция u, называется потенциаль-ным силовым полем. Силовая функция это однозначная функция коорди-нат точек поля дифференциал которой равен элементарной работе

 

.

 

Из сравнения выражений дифференциала функции

 

 

и элементарной работы

 

получим

                                     .                         (11.19)

 

Равенства (11.19) позволяют находить проекции действующей на точку силы по известной силовой функции поля.

Чтобы определить, является ли данное силовое потенциальным, возьмем частные производные от  и , используя равенства (11.19)

 

                                          

Отсюда

                                                                                                                  (11.20)

 

Аналогичным образом получаем

 

                                                                                   (11.21)

 

Если для сил, образующих данное силовое поле, соблюдаются равенства (11.20) и (11.21), то силовое поле является потенциальным силовым полем.    

Определим работу, которую совершают силы потенциального поля при перемещении материальной точки из положения М₁(x₁,y₁,z₁) в положение М₂(x₂,y₂,z₂)

 

                            

 

Как видно, работа, которая совершается при перемещении материальной точки в потенциальном силовом поле, равна разности значений силовой функции поля в конечном и начальном положениях точки и не зависит от траектории движения точки. Силы, совершающие такую работу, называются потенциальными силами. Примеры потенциальных сил: сила упругости, сила тяжести.

       Геометрическое место точек силового поля с одинаковым значением силовой функции образует поверхность, которая называется эквипотенци-альной поверхностью или поверхностью уровня. Поэтому потенциальное си- 

ловое поле можно представить как слоистое про-странство, заполненное поверхностями уровня, соответ-ствующим различным значениям силовой функции  (рис. 11.3). Работа, которую совершают силы поля при

    Рис. 11.3.      перемещении материальной точки с нулевой поверхно-

                               сти уровня (поверхности, условно принимаемой за нача-ло отсчета) в точку М₂ силового поля называется потенциалом поля U в точке М₂ (рис. 11.4)

                           

«Запас» работы, которым обладает материальная точ-   

                               ка, находящаяся в положении М₂ силового поля, харак-       

      Рис. 11.4.    теризует ее потенциальную энергию П. Потенциальная

                               энергия материальной точки в положении М₂ силового

равна работе, которую произведут силы поля при пере- 

мещении точки из положения М₂ на нулевую поверх- 

ность уровня (рис. 11.5)

Рис. 11.5.