Невозмущенное движение центра масс

11.13. Невозмущенное движение центра масс

 

    Рассмотрим движение центра масс космического аппарата (КА) в окрестности Земли, которую условимся считать однородным шаром с центральным силовым полем. Допустим, что на центр масс КА действует только центральная сила притяжения Земли. Движение центра масс КА при таких условиях называют невозмущенным.

    Согласно закону площадей траекторией невозмущенного движения центра масс КА будет плоская кривая. Выбирая в плоскости орбиты КА систему координат с началом в центре Земли, запишем уравнения движения центра масс КА

                                                                           (11.37)

 

Здесь проекции радиус-вектора  центра масс КА на оси OX и OY; гравитационная постоянная Гаусса.

Решение системы (11.37) определяют четыре интеграла. Два интеграла записываем на основании 1-го и 2-го зако-нов Кеплера (рис. 11.9)

 

Рис. 11.9.                         .               (11.38)

             

Еще один интеграл системы (11.37) можно найти из закона сохранения полной механической энергии, так как рассматривается движение в потенциальном силовом поле. Учитывая, что кинетическая Т и потенциальная П энергии центра масс КА определяются выражениями

 

;

 

получим интеграл энергии

 

 

Здесь  масса КА; постоянная энергии.

Четвертый интеграл составим с помощью выражений (11.38). Записываем

 

                                        

 или                               

                                           

 

Обозначив через  время прохождения КА через перицентр (перицентр -ближайшая к центру точка орбиты) и интегрируя полученное уравнение, находим

                                                                (11.39)

 

Формула (11.39) позволяет рассчитать время полета КА в функции угла ,

называемого истинной аномалией. Определение обратной зависимости  связано с решением трансцендентного уравнения, получившего название уравнения Кеплера. Если получены значения истинной аномалии , соответствующие заданным моментам времени t, то по формуле, описывающей 1-й закон Кеплера, находится величина полярного радиуса r и, тем самым, устанавливается положение КА на орбите. Затем по известным значениям r и  находятся координаты центра масс КА в осях системы XOY.

    В рассмотренной задаче использовалось допущение о том, что движение КА происходит под действием единственной силы – центральной силы притяжения Земли. Однако в действительности сила притяжения Земли не является центральной. Только основная составляющая этой силы определяет невозмущенное движение КА. Дополнительные составляющие силы притяжения Земли, характеризующие не центральность ее поля тяготения, а также силы притяжения Солнца и других планет, аэродинамические силы, силы светового давления и прочие малые силы, действующие на КА в полете, образуют систему возмущающих сил.

Движение КА с учетом возмущающих сил называют возмущенным движением. Уравнения возмущенного движения центра масс КА, записанные подобно уравнениям (11.37) в декартовых координатах, точного аналитического решения не имеют, а их приближенное интегрирование сопровождается накоплением значительных погрешностей на сравнительно коротком интервале времени. Поэтому в качестве переменных возмущенного движения центра масс КА, принимают не быстро изменяющиеся при дви-жении КА декартовы координаты, а элементы его орбиты, определяющие ее форму и пространственное расположение. 

Уравнения возмущенного движения центра масс КА, в которых элементы орбиты используются в качестве переменных, также не интегрируются в конечном виде. Но при малых возмущающих силах за счет медленного изменения элементов орбиты накопление погрешностей в результате приближенного интегрирования уравнений происходит также медленно. Именно это обстоятельство делает такие уравнения более удобными для анализа.