Изучение векторов в геометрии

СОДЕРЖАНИЕ

 

ВВЕДЕНИЕ. 3

1. Основные понятия: вектор, операции над векторами и их свойства. 6

2. Элементарные задачи, решаемые с помощью векторной алгебры.. 18

2.1. Определение положения точки при помощи радиуса-вектора. 18

2.2. Деление отрезка в данном отношении. 19

2.3. Приложения формулы деления отрезка в данном отношении. 21

2.4. Теорема Менелая. 23

2.5. Проективное построение 4-ой гармонической точки. 26

2.6. Параметрическое задание прямой. 28

3. Решение задач и теорем планиметрии с использованием векторной алгебры.. 33

3.1. Афинные операции над векторами. 33

3.2. Модуль вектора. Операция поворота вектора на угол . 35

2.3. Скалярное и косое произведение векторов. 37

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 42

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.. 44

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Векторы - достаточно «молодой» вопрос, включенный в курс геометрии со второй половины ХХ столетия. Отвечая потребностям физики, геодезии, географии и ряду других наук, векторы превратились в мощный метод решения задач и доказательства теорем. Они служат одним из способов установления связи линейных и угловых величин наряду с тригонометрическими функциями, также связи алгебры с геометрией.

Векторы имеют широкое применение в различных разделах математики, например, в элементарной, аналитической и дифференциальной геометрии, в теории поля. Векторная алгебра широко используется во многих разделах физики и механики, в кристаллографии, геодезии. Без векторов немыслима и не только классическая математика, но и многие другие науки.

В данной работе особый акцент делается на применении векторной алгебры, на решении задач планиметрии как стандартных, так и повышенной сложности. В каждой главе приводится краткие, но исчерпывающие теоретические сведения и разбираются разнообразные примеры.

Изучение векторов на плоскости позволяет реализовать в курсе геометрии межпредметные и внутрипредметные связи, способствует систематизации знаний, обогащению опыта поиска решений задач, так как предоставляет новый векторный метод решения, в частности, планиметрических задач. Изучение векторного метода представляет собой своеобразный познавательный интерес, так как на его основе можно в дальнейшем ввести координаты на плоскости.

Традиционный курс геометрии подразделяется на планиметрию и стереометрию, в связи с этим векторы изучаются дважды - сначала на плоскости, затем в пространстве. Н.Л. Стефанова отмечает нецелесообразность подобной дифференциации, так как происходит дублирование некоторых вопросов. Автор указывает два выхода из сложившейся ситуации:

В геометрии существуют различные трактовки определения вектора, с которыми мы познакомимся в рамках исследования, выделен круг задач, решаемых векторным методом. Данный метод является одним из эффективных методов решения геометрических задач и обладает высоким потенциалом, способствующим умственному развитию школьников, однако изучение этой темы в школьном курсе геометрии крайне ограничено по времени.

Все вышеприведенные аргументы определяют актуальность темы исследования.

Проблема исследования состоит в выявлении методических особенностей применения векторного метода к решению задач планиметрии.

Объект исследования: процесс решения задач планиметрии.

Предмет исследования: методика применения векторной алгебры при решении задач планиметрии.

  Цель исследования: выявить методические особенности решения задач планиметрии с использованием методов векторной алгебры.

Задачи исследования:

1.    Выявить различные подходы к определению понятия «вектор».

2.    Проанализировать методы применения векторной алгебры при решении задач планиметрии.

3.    Выявить сущность векторного метода и проиллюстрировать его применение к решению задач.

Для решения сформулированных задач были использованы следующие методы исследования: анализ учебно-методической литературы, работ по истории математики, примерных образовательных программ, нормативных актов, самостоятельное решение задач.

Теоретическая значимость исследования состоит в том, что в результате выявлены методические особенности обучения векторному методу в курсе планиметрии.

Практическую значимость результатов исследования составляют методические рекомендации по обучению векторному методу и разработанная система упражнений, которые могут быть использованы преподавателями высших учебных заведений.