Основные понятия: вектор, операции над векторами и их свойства

Учение о векторах почти до конца XIX века называли геометрическим анализом или исчислением, так как предпосылкой формирования основных понятий учения о векторах являлась теоретическая и практическая геометрия.

Представление величин ненаправленными отрезками можно встретить в древнегреческой математике. Например, в «Началах» Евклида операции над отрезками осуществляются так же, как и сложение и вычитание величин, умножение величин сводится к построению прямоугольника на соответствующих отрезках. Пифагорейцы сводили вопросы алгебры и арифметики к геометрическим задачам [10]. Декарт представлял дискретные величины - число, длина, площадь и др. - в виде отрезков и вводил действия с ними. Вследствие того, что Декарт рассматривал, как и Евклид, только ненаправленные отрезки и применял их как числа, исчисление отрезков развивалось крайне медленно [10]. В 1679 году Лейбниц выдвинул идею создания исчисления, подобного современному векторному. Необходимость нового «геометрического исчисления» возникает в XIX столетии в связи с бурным развитием естествознания. В трудах в области физики для наглядного представления сил использовались направленные отрезки такими учеными, как Леонардо да Винчи, Галилео Галилей, Симон Стевин, Кеплер [10].

В Таблице 1 представлены пути исторического развития векторного исчисления.

Таблица 1

Пути исторического развития векторного исчисления

Впервые начала исчисления направленных отрезков были изложены норвежцем Весселем в «Опыте об аналитическом представлении направления и его применениях». Этот труд был первым сочинением, посвященным толкованию комплексных чисел [10]. Цель ученого состояла в том, чтобы создать удобный аппарат решения геодезических задач. Вессель полагал, что переход от арифметики к геометрическому анализу расширит геометрические операции, а также облегчит доказательство теорем. Математик понимал, что создание исчисления отрезков требует обобщения алгебры таким образом, чтобы не было противоречий с уже имеющейся теорией [4]. Свои методы исчисления ученый использует при выводе формул прямолинейной тригонометрии, при решении сферических треугольников и многоугольников [9].

Вессель не стал останавливаться на изучении плоскости и попытался обобщить комплексные числа, чтобы представить векторы в трехмерном пространстве. Однако это удалось позднее У. Гамильтону [6].

Стоит отметить, что работа Весселя оказала огромное влияние на развитие математики, хотя стала широко распространена только после перевода на французский язык в 1897 году.

Книга Л. Карно (1803) сыграла свою роль в развитии векторного исчисления. Одним из основных понятий, изложенных в этом труде, является понятие геометрического количества в значении направленного отрезка. Карно рассматривал не только положительные и отрицательные отрезки на одной прямой, но и отрезки с любым направлением, что способствовало развитию векторного исчисления на шаг вперед.

Интересным фактом является то, что обозначение вектора с помощью черты (АВ) было введено Карно, а обозначение вектора с помощью стрелки (АВ) введено О. Коши в 1853 году. Обозначение \АВ\ для длины вектора ввел Ганс в 1905 году.

Немецкий математик А. Мебиус в сочинении «Барицентрическое исчисление» (1827) впервые представлял геометрическое количество АВ в виде разности точек (i? — А). Швейцарский математик Жан Арган называет направленные отрезки направленными линиями, применяет свои методы при решении задач геометрии, алгебры и механики. Свои идеи Арган изложил в труде «Опыт о способе изображения мнимых количеств в геометрических построениях» (1806). Согласно источникам Арган образовал термин «модуль» от латинского modulus - «мера» (1814), затем эту терминологию применял Коши.

Следующий скачок в развитии векторного исчисления связан с именами У. Гамильтона и Г. Грассмана. Гамильтон изучал комплексные числа, создал учение о кватернионах, именно он впервые употребил термин «вектор», который образован от латинского vehere - «нести», vector - «несущий», и производил с ними различные операции в трехмерном пространстве. В «Лекциях о кватернионах (1853) Гамильтон изложил основы векторной алгебры и векторного анализа. В этом сочинении встречаются такие понятия, как скаляр, скалярное произведение, векторное произведение, которые знакомы нам из курса геометрии школы, а также курса аналитической геометрии.

Независимо от Гамильтона Грассман изложил основы векторного исчисления в работе «Учение о протяженности» (1844), в которой речь идет об n-мерном евклидовом пространстве. Векторы он называл палочками, скалярное произведение векторов - внутренним (a | b), а векторное произведение - внешним [a, b] [12]. Ученый ввел единичные векторы e_lte₂,e₃, направленные по осям координат, и разложение вектора в виде x_±e_t + х₂е₂ + х₃е_3.

Современный вид векторному исчислению придали американский физик Дж. Гиббс, который вслед за Гамильтоном обозначал векторы греческими буквами, и английский физик О. Хевисайд, который предложил обозначение векторов жирными буквами (1891). Хевисайд считал удачным обозначение вектора и его длины одинаковыми буквами. В последней четверти Х1Х столетия происходит слияние воедино всех трех путей исторического развития векторного исчисления - алгебраического, геометрического, физического - оно становится самостоятельной областью математики.

Помимо векторной алгебры, изучающей постоянные векторы, Гамильтон создал векторный анализ, изучающий векторные функции. Векторное исчисление находит свое применение в теории электромагнитного поля, гидродинамике, теоретической механике, аналитической и дифференциальной геометрии [4].

Несмотря на огромную работу, которая была проделана математиками разных времен, векторное исчисление с большим трудом пробивает себе дорогу в высшее и среднее образование. Английский ученый У. Томпсон (1824-1907) до конца жизни был противником преподавания векторного метода, считая, что данный метод «зашифровывает» математические и физические положения, скрывает суть дела. Он призывал выписывать векторные формулы в координатной форме. Наш соотечественник А.Н. Крылов (1863-1945) придерживался похожей точки зрения в начале своей трудовой деятельности, однако спустя время ученый изменил позицию по этому вопросу.

Сторонником векторного метода был профессор П.О. Сомов, его книга «Векторный анализ и его приложения» (1907) содержала неточности, но была методически ясной, этот труд долгое время оставался единственным пособием по этой теме в нашей стране.

Ведущую роль в распространении векторного метода сыграла книга «Основы векторного исчисления. Векторная алгебра» (1931) советского математика Я.С. Дубнова (1887-1957). В работе автор приводит доказательства новых операций векторной алгебры, примеры и упражнения для самостоятельной работы. В начале 50-х годов прошлого столетия Я.С. Дубнов рекомендовал при преподавании аналитической геометрии в высшей школе планиметрию излагать координатным методом, а стереометрию - векторным языком, поэтому школьный учебник Дубнова по геометрии (1934) не включает понятие вектора [1].

Для педагогических институтов первый учебник аналитической геометрии (с векторной содержательной линией) был написан А.М. Лопшицем (1948). В этом же году вышла книга «Курс аналитической геометрии» на векторной основе Н.М. Бескина [5].

Напомним основные понятия векторной алгебры. Геометрический вектор ( или просто вектор) - это отрезок АВ, на котором задано направление, например, от А к В, и обозначаемый . Точки А и В называются соответственно началом и концом вектора . Длиной вектора  называется расстояние между его началом и концом, она обозначается . Два вектора называются равными, если они одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

Лемма о равенстве двух векторов. Для любых четырех точек пространства А, В, С и D  =  тогда и только тогда, когда  = .

Свойство равенства векторов. Отношение равенства векторов обладает свойствами:

(а) если  = , то и  = (симметричность);

(б) если  = ,  = , то  =  (транзитивность).

Вектор, положение начала которого не имеет значения, обозначается маленькой латинской буквой полужирным курсивом: а, b, с₁,d₁ и т.д. Определение суммы векторов а и b: от произвольной точки А пространства отложить первый вектор а = АВ, от полученной точки В отложить второй вектор b = ВС, тогда, по определению, а + b  Это правило называется правилом треугольника сложения векторов и выражается формулой:  +  = .

Замечание. Вышеприведенное определение правила сложения векторов корректно, т.е. оно не зависит от выбора точки А. Это значит, что если вместо точки А взять другую точку А ₁, то результат будет тот же:

Если  =  и  = , то и  =

Нулевым вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают: 0 = =  =  =....

Для произвольного вектора а =   вектор  называется противоположным, он обозначается -а. Разностью векторов  и  называется вектор . Можно доказать, что с = а —b и b+ с = а. Правило параллелограмма сложения и вычитания векторов: векторы а и Ь отложить от одного начала: а =  b =  и достроить до параллелограмма: АВСD (см. рис. 1), тогда а + b = , а — b =  .