Деление отрезка в данном отношении

2.2. Деление отрезка в данном отношении

Изобразим в прямоугольной декартовой системе координат некоторый отрезок АВ, точку С на нем и построим радиус-векторы точек А, В и С, а также векторы и . Будем считать, что точка С делит отрезок АВ в отношении λ.

Рис. 3

Мы знаем, что координаты радиус-вектора точки равны соответствующим координатам этой точки, поэтому, и . Найдем координаты вектора ., которые будут равны искомым координатам точки С, делящей отрезок АВ в заданном отношении λ.

В силу операции сложения векторов можно записать равенства ↔ .

Так как точка С делит отрезок АВ в соотношении λ, то , откуда . Векторы и лежат на одной прямой и имеют одинаковое направление, а выше мы отметили, что λ>0, поэтому, по определению операции умножения вектора на число справедливо равенство . Подставив в него , имеем - . Тогда равенство можно переписать как , откуда в силу свойств операций над векторами получаем

Осталось вычислить координаты вектора , выполнив необходимые операции над векторами и в координатах. Так как и

, то , следовательно,

Таким образом, на плоскости координаты точки С, которая делит отрезок АВ в отношении λ, находятся по формулам и .

2.3. Приложения формулы деления отрезка в данном отношении

Решение задач этого типа базируется на данном теоретическом материале.

Для того чтобы точка С делила отрезок АВ так, что , необходимо и достаточно, чтобы для произвольной точки О выполнялось равенство:

Доказательство. По условию , следовательно

n =m . Но

Поэтому

Отсюда следует

Задача 1. Доказать, что медианы произвольного треугольника ABC пересекаются в одной точке М такой, что точка М делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

Решение. Пусть точка М дeлит медиану AD треугольника ABC в отношении 2:1.Тогда по соотношению 2 получаем (m = 2, n = 1)

где О — произвольная точка пространства. Точка D — середина стороны ВС, поэтому, согласно соотношению 3:

Следовательно,

Тот же результат получится для любой другой медианы треугольника ABC. Это говорит о том, что М — общая точка всех трех медиан.

Практика решения более сложных задач такого типа показала, что работу нужно вести в следующем направлении: постараться разложить один из векторов (чаще всего конец такого вектора – точка, которая делит данный отрезок в заданном отношении) по двум основным векторам (они неколлинеарны) двумя различными способами. Используя единственность разложения вектора по двум неколлинеарным векторам, установить зависимость между коэффициентами в разложении вектора, что потом дает возможность найти искомое соотношение.

Задача 2. На стороне AC треугольника ABC взята точка M так, что , а на продолжении стороны BC такая точка N что . В каком отношении точка P пересечения AB и MN делит каждый из этих отрезков.