Элементарные задачи, решаемые с помощью векторной алгебры 2. 1. Определение положения точки при помощи радиуса-вектора

Радиус-вектор точки - это вектор, начало которого совпадает с началом системы координат, а конец - с данной точкой.

Таким образом, особенностью радиус-вектор а, отличающего его от всех других векторов, является то, что его начало всегда находится в точке начала координат (рис. 1).

Рис. 1

Введение понятия радиус-вектор а оказалось чрезвычайно плодотворным при изучении различных физических явлений. В частности, это понятие широко используется в механике.

Как известно, положение точки можно задать с помощью ее координат. Так, если известны координаты x₁ и y₁ точки В или координаты x₂ и y₂ точки С, то мы легко находим положения этих точек на плоскости. Этот способ определения положения точки с помощью ее координат называется координатным способом.

Но можно определить положение точки и по-другому, а именно с помощью радиус-вектор а. Если известен радиус-вектор данной точки, то и ее положение оказывается известным, поскольку точка конца радиус-вектора совпадает с данной точкой. Так, положение точки В - это конец ее радиус-вектора r ₁, а положение точки С - это конец ее радиус-вектора r ₂. Этот способ определения положения точки с помощью ее радиус-вектора называется векторным способом.

Эти способы эквивалентны друг другу. Покажем это. Найдем проекции радиус-вектора r ₁ точки В на координатные оси. Чтобы найти проекцию вектора на ось нужно из координаты конца вектора вычесть координату его начала. Тогда

r_1x = x₁ − 0 = x₁,

r_1y = y₁ − 0 = y₁.

Аналогично для проекций радиус-вектора r ₂ точки С:

r_2x = x₂ − 0 = x₂,

r_2y = y₂ − 0 = y₂. Таким образом, проекции радиус-векторов точек являются координатами этих точек (рис. 2).

Рис. 2

На практике применяются как координатный, так и векторный способы. Более того, при решении многих задач их применяют совместно, что является мощным методом решения, поскольку он позволяет использовать единый подход для решения совершенно разных задач.