Свойства операций сложения векторов и умножения их на числа

Для любых векторов а, b, с и чисел λ,μ є К:

(а) а + b = b + а (коммутативность);

Благодаря свойствам (а) и (б) можно складывать любое количество векторов в произвольном порядке. Правило многоугольника сложения нескольких векторов а₁, а₂,..., а_п: от произвольной точки А₀ отложим первый

вектор а₁ = , от его конца А₁ отложим второй вектор а₂ = ,, и. т.д., и от конца А_{п- 1} предпоследнего вектора отложим последний вектор а_п = ,. Тогда а₁ + а₂ +... + а_п = А₀А_п (см. Рис.2). Таким образом, например, не глядя на чертеж, легко найти сумму:

Условимся считать нулевой вектор параллельным любой прямой и любой плоскости. Совокупность векторов называется коллинеарной (компланарной), если все они параллельны некоторой прямой (соответственно плоскости). Это определение равносильно следующему: совокупность векторов является коллинеарной (компланарной) тогда и только тогда, когда все эти векторы, будучи отложенными от общего начала, лежат на одной прямой (соответственно в одной плоскости). Поэтому два вектора всегда компланарны.

Общий критерий линейной зависимости нескольких векторов: совокупность векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из них есть линейная комбинация остальных. Следовательно, совокупность векторов линейно независима тогда и только тогда, когда ни один из них не является линейной комбинацией остальных.

Критерии линейной зависимости двух, трех и четырех векторов: Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны. Четыре или более геометрических вектора всегда линейно зависимы.

Упорядоченная совокупность векторов плоскости (или пространства) называется базисом, если эти векторы, во-первых, линейно независимы, а, во-вторых, через них можно выразить всякий вектор плоскости (пространства). Коэффициенты разложение вектора по базису определены однозначно, они называются координатами вектора в данном базисе.

Теорема. Если конечная или бесконечная система компланарных векторов содержит хотя бы два неколлинеарных вектора  и , то любой вектор  этой системы линейно выражается через  и , т. е.  =  +  (3), где  — действительные числа.

Любая конечная система компланарных векторов, состоящая более чем из двух векторов, линейно зависима.

Доказательство. Пусть  — произвольный вектор системы (1). Перенесем векторы ,  и в произвольную точку О пространства и обозначим через A, ,  их концы. В силу компланарности данной системы точки О, ,  и А лежат в одной плоскости. Но векторы  и  не коллинеарны, поэтому О,  и  не лежат на одной прямой.

Проведем через точку А прямые, параллельные векторам  и . Обозначим через  и  точки пересечения этих прямых соответственно с прямыми  и . Очевидно,  = + . С другой стороны, векторы и  ,  коллинеарны и , , поэтому существуют такие = , . Подставив эти выражения в предыдущее соотношение, получим (3).

Теперь докажем вторую часть теоремы. Пусть (1)—данная система и . Если векторы  коллинеарны, то они линейно зависимы, поэтому согласно лемме система (1) линейно зависима. Если  не коллинеарны, то согласно первой части теоремы имеем:  =  + . Мы видим, что часть системы (1) линейно зависима, следовательно, согласно лемме [3.1] вся система линейно зависима.

Введем следующее определение: базисом системы компланарных векторов называется совокупность любых двух неколлинеарных векторов этой системы, взятых в определенном порядке.

Предыдущая теорема показывает, что любой вектор компланарной системы линейно выражается через базис.

Легко видеть, что каждое двумерное векторное подпространство содержит хотя бы два неколлинеарных вектора, т. е. базис. Из теоремы [3.2] следует, что любой вектор  этого подпространства линейно выражается через  и . В случае подпространства, в отличие от общего случая системы компланарных векторов, вектор , имеющий вид (3), при любых действительных  принадлежит подпространству. Таким образом, если ,  — базис двумерного подпространства, то это подпространство есть множество векторов  вида (3) при всевозможных действительных значениях .

Теорема [3.3]. Для того чтобы три вектора , были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы они были линейно зависимы.

Доказательство. В самом деле, если система векторов , компланарна, то согласно теореме [3.2] она линейно зависима.

Обратно, пусть система линейно зависима +

Если, например, , то из данного соотношения получаем:

Если  — некоторая плоскость, параллельная векторам , то отсюда видно, что  является вектором, параллельным той же плоскости.

На плоскости базис образуют любые два неколлинеарных вектора, а в пространстве - любые три некомпланарных вектора. Базис, состоящий из трех единичных попарно перпендикулярных векторов i, j и k, называется ортонормированным. Координаты вектора в заданном базисе мы будем указывать в круглых или фигурных скобках, а именно, запись a{ x; у; z} означает, что a = x i + y j + z k. При сложении векторов и умножении их на числа с их координатами выполняются те же самые операции.

Декартова система координат на плоскости (в пространстве) состоит из точки О (начала отсчета) и базиса в этой плоскости (пространства) т.е. двух неколлинеарных векторов этой плоскости (соответственно трех некомпланарных векторов).

Напомним, что числовой осью (или координатной прямой) называется прямая, на которой заданы начало отсчета, направление и масштаб. Каждой точке Р координатной прямой однозначно соответствует некоторое вещественное число x_P R и наоборот. Координатные прямые с началом отсчета в точке О, сонаправленные соответствующим базисным векторам a; b; c и с единицей масштаба, равной длине этих векторов, называются координатными осями ОХ, OY и OZ, а также осями абсцисс, ординат и аппликат соответственно.

Координатами точки М в декартовой системе координат называются координаты её радиус вектора OM в базисе {a; b; c }, т.е. запись M(х; у; z} означает, что OM = xa + yb + xc. Если базис ортонормированный {i, j, k}, то соответствующая декартова система координат называется прямоугольной. В общем случае любая координата точки М есть проекция точки М на соответствующую координатную ось параллельно плоскости, содержащей две другие координатные оси. В частности, в случае прямоугольной системы координат это прямоугольные (ортогональные) проекции точки М на эти оси.

Напомним, что углом между ненулевыми векторами а и b - называется угол AA CB между равными им векторами, отложенными от одной точки С: a = CA b = CB, этот угол обозначается (a ^Λ b) и может изменяться в пределах от 0° до 180° включительно.

 Скалярным произведением двух векторов а и b называется число (т.е. скаляр), обозначаемое (в разных книгах) ab = a ·b = (a, b) = (a ·b) (в данном пособии принято последнее обозначение), и которое равно нулю, если хотя бы один из векторов а или b нулевой, а если оба вектора ненулевые, то равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: (a·b) = |a| · |b| · cos(a λ b).

Алгебраические свойства скалярного произведения (верные для любых векторов а, b и числа λ ):

(а) (a · b) = (b · a) (коммутативность);

(б) (a · (b + c)) = (a · b) + (a · c) (дистрибутивность);

(в) (a ·λb) = λ(a^ b) (ассоциативность);

(г) (a · a) = |a|²>0, причем точное равенство выполняется, только когда a = 0;

(д) (ab) = 0 тогда и только тогда, когда один из векторов нулевой или векторы а и b перпендикулярны.

Векторы а и b называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Скалярным квадратом вектора а называется скалярное произведение этого вектора на себя: a²  (a · a). Поэтому свойство (г) можно записать так: a² = |a| > 0. Отсюда следует простая, но полезная формула для длины вектора: |a| =. Отметим, что не существует скалярного куба, и подавно, более высоких скалярных степеней вектора. Из свойств (а) - (в) вытекает справедливость некоторых формул векторной алгебры, аналогичных хорошо известным формулам обычной алгебры:

(д) (a ± b)² = a² ± 2(a ·b) + Ь²;   (е) ((a + b) · (a - b)) = a² - b².

Ортогональная проекция точки А на плоскость π- это точка пересечения этой плоскости с прямой, проходящей через точку А перпендикулярно плоскости π. Ортогональная проекция точки А на прямую I - это точка пересечения этой прямой с плоскостью, проходящей через точку А перпендикулярно прямой I.