Теорема Менелая. Доказательства

2.4. Теорема Менелая. Доказательства

Теорема Менелая. Если прямая пересекает стороныили продолжения сторон BC, CA и AB треугольника ABC соответственно в точках A₁, B₁ и C₁, не совпадающие с вершинами треугольника, то имеет место равенство

Рис. 6

Пусть прямая пересекает стороны BC и CA треугольника АВС в точках А₁ и В₁,а продолжение стороны АВ в точке С₁.

1. Через вершину С треугольника АВС проведем прямую CD АВ; которая пересечет прямую А₁В₁ в точке D.

2. А₁ВС₁ А₁CD по двум углам

3. В₁АС₁ В₁CD по двум углам

4. из пунктов 2 и 3 следует, что и .

5. Перемножим эти равенства, получим доказываемое соотношение.

Доказательство остается в силе и в том случае, когда все три точки A_1,B₁ и C₁ лежат на продолжениях сторон АВС.

Для пояснения приведённого доказательства сделаем одно уточнение. Пусть – ненулевые коллинеарные векторы. Если , то будем писать: Значит, число k равно отношению длин векторов , взятому со знаком «плюс», если векторы сонаправленны, и со знаком «минус», если они направлены противоположно.

Легко проверить, что при таком соглашении полученное выше равенство принимает вид:

Обратная теорема. Если выполняется равенство , то точки A_1,B₁ и C₁лежат на одной прямой.

Для доказательства обратной теоремы используем вышеуказанное уточнение

Доказательство.

Допустим, что выполнено равенство , и пусть прямая А₁В₁пересекает прямую АВ в точке С₂. Согласно прямой теореме,

Сравнивая это соотношение с данным, заключаем, что

Прибавив к обеим частям равенства 1, получим: откуда , т. е. точки C₁ и C₂ совпадают.

Объединяя прямую и обратную теоремы, получаем следующий результат.

Если на сторонах ВС, СА, АВ треугольника АВС или на их продолжениях взяты точки A₁, B₁ и C₁, то эти точки лежат на одной прямой тогда и только тогда,когда

ЗАМЕЧАНИЕ. При решении задач, когда расположение точек A_1,B₁ и C₁известно равенство используют в скалярном виде, т. е. рассматривают длины отрезков, а правую часть равенства берут равной 1.