2021-11-13
113
При проектировании ЦФ расчетные значения его коэффициентов выражаются, как правило, иррациональными числами с бесконечной и непериодической дробной частью. Следствием вынужденного ограничения разрядности является неточное представление коэффициентов, а это, в свою очередь, приводит к неизбежным ошибкам в воспроизведении АЧХ и других показателей ЦФ по сравнению с расчетными данными. Наибольшее значение имеют ошибки в воспроизведении АЧХ. Поэтому обсуждаемая проблема, в принципе, должна сводиться к постановке задачи в такой формулировке: "Определить чувствительность АЧХ ЦФ к неточности представления его коэффициентов". Общего решения такой задачи применительно к ЦФ различных типов и произвольного порядка получить нельзя. К этому еще следует добавить, что в зависимости от конкретно поставленных требований к ЦФ критериями чувствительности АЧХ могут быть различные понятия, такие, как среднеквадратичное отклонение от заданной формы, погрешность преобразования на заданной частоте, максимальная погрешность и т.д. Ниже, на основе конкретных примеров, будут рассмотрены общие положения и составлены рекомендации по выбору разрядности коэффициентов на соответствующем этапе проектирования ЦФ.
Рассмотрим вначале цифровой резонатор 2-го порядка, аналогом-прототипом которого является параллельный LC -контур. Поставим перед собой такую задачу: определить допустимое ограничение разрядности коэффициентов при заданных ошибках в воспроизведении полосы пропускания и частоты настройки резонатора.
Запишем передаточную функцию аналога-прототипа в виде:
(8.34)
где s = j w, Dw = w0/ Q – полоса пропускания, Q – добротность, w0 – резонансная частота контура.
Дробно-рациональная передаточная функция (8.34) содержит один нуль s 0 = 0 и два комплексно-сопряженных полюса:
Будем рассматривать достаточно распространенный случай, когда полоса пропускания существенно ỳже резонансной частоты: Dw << w0 (т.е. фильтр является высокодобротным). Тогда можно записать:
s п.1,2» - Dw/2 ± j w0. (8.35)
Воспользуемся методом согласованного z -преобразования, который обеспечивает достаточно точное повторение АЧХ и, соответственно, полосы пропускания и резонансной частоты цифрового резонатора по сравнению с его аналогом-прототипом. Используя базовое соотношение z = exp(sT), получим выражения для нулей и полюсов цифрового резонатора:
где F0 = w0 T = w0/ f Д – цифровая резонансная частота, f Д – частота дискретизации, R П – линейная координата полюсов:
R П = exp(– p·D f 0,7/ f Д), (8.36)
D f 0,7 – полоса пропускания цифрового резонатора по уровню 0,7.
Запишем передаточную функцию цифрового резонатора, используя найденные выражения для ее полюсов и нуля:
(8.37)
Основными параметрами цифрового резонатора являются резонансная частота (частота настройки фильтра) и полоса пропускания. Вначале рассмотрим влияние неточности представления коэффициентов на полосу пропускания. В качестве критерия выберем процентное изменение полосы пропускания по отношению к ее заданному значению:
где D f 0,7 – заданное значение полосы пропускания, D f *0,7 – измененное значение полосы пропускания за счет округления коэффициентов.
Используя (8.36), составим выражение для b 2 в таком виде:
(8.38)
откуда следует, что полоса пропускания цифрового резонатора зависит только от коэффициента b 2. При округлении расчетного значения b 2 возникает ошибка e, значение которой находится в пределах:
где D = 2– b, b – разрядность АЦП и вычислителей цифрового устройства.
Реальное значение коэффициента b 2 после округления будет равно:
b *2 = (1 ± e)× b 2. (8.39)
Новое значение b *2 повлечет за собой изменение линейной координаты полюсов, которая станет равной R *П. При постоянной частоте дискретизации изменение линейной координаты полюсов может происходить только в результате изменения полосы пропускания. Таким образом, после округления коэффициента b 2 выражение (8.38) следует переписать в виде:
(8.40)
С другой стороны, на основании выражения (8.39) можно записать:
(8.41)
Приравняем правые части выражений (8.40) и (8.41):
откуда получим выражение, связывающее измененное значение полосы пропускания с исходным:
Процентное изменение полосы пропускания равно:
Поскольку e << 1, то |ln(1 ± e)| ≈ e, и последнее выражение можно переписать в виде:
(8.42)
На основании (8.38) можно записать:
Следовательно, чем ближе полюсы расположены к окружности единичного радиуса, т.е. чем ближе к единице значение R П, тем больше модуль отношения f Д/(2p·D f 0,7), а значит и больше изменение полосы пропускания при той же самой ошибке округления e. На рис. 8.8 показаны графики зависимости процентного изменения полосы пропускания d% как функции исходной полосы D f 0,7.
Рис. 8.8. Относительное изменение полосы пропускания цифрового резонатора.
При построении графиков полагалось, что ошибка округления имеет максимальное значение: e = 2 - b /2.
Теперь рассмотрим влияние неточности представления коэффициентов на сдвиг резонансной частоты. Объектом исследования по-прежнему будет цифровой резонатор с передаточной функцией
.
Интересующая нас резонансная частота F0 входит в коэффициент b 1:
b 1 = 2 R пcosF0, откуда cosF0 = b 1/2 R п. Линейная координата полюсов R П зависит только от коэффициента b 2, следовательно:
, (8.43)
где F0 = 2p f 0/ f Д, f 0 и f Д - соответственно, резонансная частота и частота дискретизации, выраженные в герцах.
После операции округления коэффициенты b 1 и b 2 будут определены с различными ошибками, обозначим их, соответственно, e1 и e2. При этом выражение (8.43) определит искаженное округлением значение резонансной частоты:
(8.44)
Используя (8.43), представим отношение 
в виде:
(8.45)
Подставив (8.45) в (8.44), получим:
Преобразуем последнее выражение и получим формулу для расчета резонансной частоты f 0*, смещенной относительно исходного значения f 0 из-за неточного представления коэффициентов b 1 и b 2:
(8.46)
где 
(8.47)
С использованием формулы (8.46) найдем выражение для абсолютного значения разности D f между смещенным и исходным значениями резонансной частоты и отнесем его к исходному значению резонансной частоты. В результате получим выражение для относительного смещения резонансной частоты:
. (8.48)
По выражению (8.48) на рис. 8.9 построены графики зависимости d f % от исходного значения частоты f 0. Параметром графиков является разрядность цифрового устройства b. При построении графиков принято, что ошибки округления e1 и e2, входящие в выражение для E, имеют максимальное значение:
Рис. 8.9. Относительное смещение резонансной частоты цифрового резонатора.
Кроме этого рассмотрен наихудший случай с точки зрения увеличения d f %, когда e1 входит в выражение (8.47) со знаком плюс, а e2 – со знаком минус, т.е. E выражается в виде:
Из (8.48) следует, что при выполнении условия f Д = 4 f 0 величина d f строго равна нулю, независимо от значений ошибок e1 и e2. Таким образом, если частота дискретизации в четыре раза больше резонансной частоты, то смещения резонансной частоты не будет.
Рассмотрим еще один пример, указывающий на необходимость тщательного выбора разрядности коэффициентов. Пусть проектируется ЦФ для области нижних частот. Передаточная функция фильтра имеет вид:
. (8.49)
Особые точки передаточной функции:
– нули: z 01 = z 02 = 0;
– полюсы: z П1 = z П2 = 0,99.
В качестве структуры фильтра выбрана прямая форма, показанная на рис. 8.10 а).
Рис. 8.10. Требуемая разрядность коэффициентов в зависимости от структурной формы фильтра: а) прямая; б) последовательная.
Коэффициенты передаточной функции равны: b 1 = 1,98; b 2 = 0,9801.
Казалось бы, округлив коэффициент b 2 до значения b *2 = 0.98 (т.е. уменьшив его на 0,01%), можно не опасаться каких-либо негативных последствий. Однако расчет измененных значений полюсов из-за неточного представления коэффициента b 2 показывает, что округление и связанное с ним сокращение разрядности b 2 недопустимо. Покажем это. Найдем новые значения полюсов (после округления):
При z *П2 = 1 цифровой фильтр становится на границу возбуждения, что недопустимо. Выходом из такого положения может быть либо сохранение разрядности b 2, либо (что проще) переход на последовательную структурную форму, которая приведена на рис. 8.10 б). Каскады, входящие в структуру, являются звеньями 1-го порядка с одинаковыми полюсами, значения которых равны 0,99. Передаточная функция двух каскадно включенных ЦФ записывается в виде:
.
При использовании последовательной структурной формы не требуется увеличения разрядности коэффициентов.
Основные выводы из проведенного рассмотрения состоят в следующем.
– Расчет чувствительности АЧХ к неточному представлению коэффициентов ЦФ по выбранному критерию в каждом отдельном случае выполняется индивидуально.
– Особое внимание к выбору разрядности коэффициентов следует уделить в тех случаях, когда расчетные значения особых точек (полюсов и нулей) находятся в непосредственной близости от окружности единичного радиуса.
