Геометрическая и кинематическая точность. Суммарная погрешность

Введение

Геометрические и кинематические неточности оборудования вызывают отклонения размеров, формы и расположения обрабатываемых поверхностей. Эти погрешности полностью или частично переносятся на обрабатываемые заготовки в виде постоянных систематических погрешностей неточностей оборудования.

Суммарная погрешность является следствием действия первичных элементарных погрешностей. Определение суммарных погрешностей отдельных операций технологического процесса необходимо для правильного назначения технологических допусков при проектировании технологических процессов и анализа точности окончательных операций.

Таким образом, повышение точности позволяет определить недостатки технологических процессов и устранить эти недостатки, что приводит к повышению качества продукции, экономии ресурсов.

1 Геометрическая и кинематическая точность. Суммарная погрешность

1.1 Математический метод

1.1.1 Бесконечно малые смещения и бесконечно малые матрицы

1.1.1.1 Незначительность погрешностей и погрешности Аббе

Фактические движения машины неизбежно сопровождаются небольшими непреднамеренными отклонениями положения и ориентации всех звеньев относительно друг друга. Сумма элементарных погрешностей вместе с их коэффициентами передачи представляет суммарную погрешность [1].

Количество погрешностей, связанных со всеми взаимодействующими звеньями, составляет несколько десятков, и эффективный способ анализа их вклада в точность и точность станка формулируется как полная вариация FSF [2]. В этой главе описывается линеаризованная математическая модель для суммарных геометрических и кинематических погрешностей, подходящая для FSS машин с последовательной, параллельной и гибридной кинематикой.

С математической точки зрения стоит обратить особое внимание на важный частный случай параметров движения тела, когда они очень малы, т. е. движущееся тело совершает бесконечно малое смещение. В этом случае существует возможность радикального упрощения сложных математических выражений с помощью метода линеаризации. Точное математическое определение «бесконечно малого» значения – это переменная, имеющая ноль в качестве предела. Однако в теориях, связанных с точностью – приближенных расчетах, численных методах, инженерной метрологии и т. д. — термин «бесконечно малый» обычно применяется к значению δ, которое настолько мало, что мы можем пренебречь значениями δⁿ, где n ≥ 2, без ущерба для требуемой точности и считать, что δ² ≈ 0; δ_iδ_j ≈ 0; δ³ ≈ 0 и т. д.

Если угол, представляющий параметр поворота, мал, то выполняются следующие приближения первого порядка для тригонометрических функций:

sin δ ≈ δ, с отклонением от sin δ около δ³/ 6, (1)

cos δ ≈ 1, с отклонением от cos δ около δ² /2. (2)

Поскольку приближение (1) является более точным, чем (2), именно последнее определяет точность расчета при использовании приближений. Условие регулярной линеаризации, относящееся к произведению двух бесконечно малых значений (не имеет значения, являются ли они линейными или угловыми значениями), должно быть добавлено к уравнениям (1) и (2):

δ_i δ_j ≈ 0, для i, j = x, y, z, θ, ψ, ϕ. (3)

Численный пример 1. Угол поворота составляет δ = 0,05 рад (т. е. 2,865°). Приблизительные значения и их отклонения от точных значений приведены ниже.

1. Точное значение синуса равно sin (0,05) = 0,0499792.

- Приближение sin δ ≈ δ = 0,05 приводит к отклонению δ − sin δ = 0,05 - 0,0499792 = 0,0000208307 от точного значения sin δ.

- Относительная погрешность приближения составляет (δ - sin δ)/sin δ = 0,00042 = 0,042%.

- Относительная погрешность с высокой степенью точности оценивается по формуле (1): 0.053/6 = 0.0000208333.

2. Точное значение косинуса cos (0,05) = 0,9987502.

- Приближение cos δ = 1 дает отклонение от точного значения cos (0,05) -1 = -0,00124974.

- Относительная погрешность приближения составляет (1 - cos (0,05)) / cos (0,05) = -0,001251 = -0,1251%.

- Относительная погрешность с высокой степенью точности, оцененная по формуле (2), составляет 0,052/2 = -0,0012500.

Поскольку все отклонения от точных значений достаточно малы, приближения (1) и (2) дают приемлемую точность для большинства расчетов. Рассмотренный ниже подход применяется для линеаризации довольно сложных матричных выражений, описывающих фактическое (неидеальное) движение машин. Погрешности Abbe – это небольшие линейные смещения, вызванные небольшими угловыми отклонениями во время движения тела, когда существует смещение между интересующей точкой тела и линией контроля и измерения перемещения тела.

Аналогично моделированию регулярных (немалых) движений, небольшое смещение твердого тела может быть интерпретировано с помощью пары систем координат (рис. 1). В базовой (фиксированной) системе координат OXYZ имеется точка интереса K, определяемая вектором положения r = :

r = [x, y, z, 1]^T. (4)

Если движущаяся координатная рамка смещена на небольшие расстояния, образуя небольшой вектор относительно рамки OXYZ, и повернута на небольшие углы, точка интереса смещается вместе с движущейся рамкой и переходит в точку Q. В движущемся кадре точка Q имеет те же координаты x, y, z, что и точка K в кадре OXYZ

Если движущаяся система координат O_pX_pY_pZ_p перемещается на небольшие расстояния δ_x, δ_y, δ_z, составляющие малый вектор OO_p относительно системы OXYZ, и поворачивается на малые углы δ_θ, δ_ψ, и δ_ϕ, интересующая нас точка смещается вместе с движущейся системой координат и переходит в точку Q. В движущейся системе координат O_pX_pY_pZ_p точка Q имеет те же координаты x, y, z, что и точка K в системе координат OXYZ, = ρ = [x, y, z, 1]^T.

Рисунок 1 – Бесконечно малое смещение точки тела

В свою очередь, вектор r_act, определяющий положение точки Q относительно системы координат OXYZ, может быть представлен как сумма номинального вектора = r и вектора погрешности = ∆r, представляющего отклонение фактического положения точки от номинального положения: