Ось и угол малого поворота

Конечное вращение тела может быть описано путем определения единичного вектора e_rot оси вращения и угла α поворота вокруг оси:

                          .         (32)

Если три угла Эйлера малы, приближение первого порядка, уравнения (8.1) и (8.2), не может быть использовано для вычисления малого угла δα, поскольку приближение первого порядка приводит к a11 = a22 =a33 = 1 и, следовательно, α = 0. Таким образом, необходимо рассмотреть приближение второго порядка

Если три угла Эйлера малы, приближение первого порядка, уравнения (1) и (2), не может быть использовано для вычисления малого угла δ_α, поскольку приближение первого порядка приводит к a₁₁ = a₂₂ = a₃₃ = 1 и, следовательно, α = 0. Таким образом, необходимо рассмотреть приближение второго порядка:

                              .                     (33)

Замена диагональных элементов a₁₁, a₂₂ и a₃₃ из матрицы A_Eu, уравнение (6) в уравнении (32) дает:

. (34)

Подставляя приближения (33) для малых углов α, θ, ψ и ϕ в обеих частях уравнения (34) дает:

                 ,       (35)

                                            .                                (36) 

Подстановка недиагональных элементов матрицы E, Eq. (8.9) в уравнение. (8.26) с учетом второго приближения, уравнение (8.27) приводит к единичному вектору оси вращения тела

Подстановка недиагональных элементов матрицы E, уравнение (11), в уравнение (32) с учетом приближения второго порядка, уравнение (33) приводит к единичному вектору оси вращения тела:

                        ,                  (37)

                                                   ,                              (38)   

где δ - вектор угловой погрешности;

e_rot,x, e_rot,y и e_rot,z - компоненты единичного вектора оси вращения тела.

где δ – вектор угловой ошибки; и e_rot,x, e_rot,y и e_{rot, z} – компоненты единичного вектора оси вращения тела.

                                               ,                                      (39)

                               ,                    (40)

Угол δ_c поворота вокруг оси, задаваемый единичным вектором c = [c_x, c_y, c_z]^T, || c || = 1, представляет проекцию вектора δ на вектор e и вычисляется скалярным произведением:

                           .                          (41)

Пример: Угол поворота δ_θ вокруг оси X равен  .