Погрешности положения и ориентации

1.1.2 Погрешности положения и ориентации

 

В результате малого смещения и вращения твердого тела, заданного бесконечно малой матрицей E, уравнение (11) точка тела получает смещения (погрешность координат):

            .        (42)

Соответственно, направление единичного вектора c (||c|| = 1), связанное с ориентацией тела, получает следующие непредусмотренные искажения (погрешность ориентации):

         .      (43)

В плоском случае матрица погрешностей E, вектор погрешности положения Δr и погрешность ориентации Δc становятся:

                                       ,                                       (44)

                       (45)

1.1.3 Смещения точки тела и плюккеровы координаты

1.1.3.1 Смещение по заданному направлению

 

Небольшое относительное смещение точки тела от ее номинального положения K (Рис. 1) в фактическом положении Q определяется через вектор погрешности Δr, уравнение (42). Проекция вектора малых смещений Δr на линию, направление которой задается единичным вектором e (||e|| = 1), может быть выражена через положение и угловые отклонения твердого тела, определяемые шестью малыми значениями δ_x, δ_y, δ_z, δ_θ, δψ и δ_ϕ. Проекция – это скалярное значение, рассчитанное через скалярное произведение.

                                             

    , (46)        

где e_x, e_y и e_z - направляющие косинусы, образующие единичный вектор e.

Заключенные в квадратные скобки коэффициенты при малых углах δ_θ, δ_ψ, δ_ϕ представляют собой моменты единичного вектора e относительно осей X, Y, Z соответственно, составляющие вектор момента:

                                  ,                              (47)

     . (48)

Следовательно, смещение Δ, равное (46), вдоль направления, заданного единичным вектором e, может быть представлено как:

              .            (49)

Шесть погрешностей δ_x, δ_y, δ_z, δ_θ, δ_ψ и δ_ϕ, входящих в матрицу погрешностей E, уравнение (11), могут быть объединены в вектор размерностью 6×1, называемый твист:

                                .                           (50)

Шесть действительных чисел e_x, e_y, e_z, n_x, n_y и n_z, входящих в уравнение (49) называются координатами Плюккера. Линия проходит через точку с координатами x, y, z, а ее направляющие косинусы объединяют единичный вектор e. Вектор координат Плюккера равен:

                                  .                            (51)

В этих условиях уравнение (49) можно переписать через матричное произведение реализованных выше векторов шестого порядка:

                                                        Δ = u^Tδ.                                              (52)

Важно подчеркнуть, что и уравнение (49), и уравнение (52) определяют одинаковые значения и будут использоваться в той или иной форме в зависимости от ситуации. Обратите внимание, что только четыре из шести координат Плюккера независимы, поскольку имеют место две следующие связи:

                                                      ,                                              (53)   

                                             .                                      (54)

Вектор Δc погрешности ориентации определяется с помощью уравнения (43). Применяя уравнение (41) для малого угла δc вращения вокруг заданной оси e, можно определить вектор u координат Плюккера для углового параметра:

                                                u = [0,0,0,e_x,e_y,e_z]^T,                                    (55)

                                  .                        (56)