Матрица Якоби и ее применение

Если шесть погрешностей δ_x, δ_y, δ_z, δ_θ, δ_ψ и δ_ϕ, определяющих положение и ориентацию тела, неизвестны, их можно найти с помощью N≥ 6 линейных одновременных уравнений типа (49) и/или (56). Например, если существует только уравнения (49), система принимает вид:

                 ,           (57)

где Δ_i (i = 1,..., N) - известные перемещения, например, результаты измерений. Система может быть переписана в матричном виде:

                                                       J δ = Δ,                                                (58)

                                ,                       (59)

                                         ,                              (60)

                                           ,                                    (61)

где J – структурная матрица системы размерностью N × 6 (57), состоящая из N строк координат Плюккера, например (49), опор тела;

δ – скручивание (вектор погрешностей), например (50);

Δ – вектор правых частей уравнений (57).

Очевидно, что уравнения (57) или (что то же самое) матричное уравнение (59) позволяют вычислять малые смещения N точек тела, заданных его координатами, по заданным направлениям. Матрица J представляет собой матрицу Якоби системы уравнений (57). В дальнейшем матрица J и ее определитель Det[J] будут называться матрицей Якоби поддержки и якобианом соответственно.

Совместные уравнения (8.49) должны быть решены относительно шести неизвестных δ_x, δ_y, δ_z, δ_θ, δ_ψ и δ_ϕ с целью выбора значений погрешностей, которые обеспечивают компенсацию известной выходной погрешности. Процедура решения рассматривается при условии, что Δ ≠ 0 и матрица J имеет полный ранг:

                                           rank[J] = 6.                                            (62)

Очевидно, это требование означает, что точки r_i и направления e_i не могут быть выбраны произвольно. Во-первых, чтобы удовлетворить требованию (61), среди совместных уравнений должно быть не менее трех уравнений для линейных перемещений, например, уравнение (52). Во-вторых, решение имеет разные формы в зависимости от того, N = 6 или N> 6. В случае N = 6 уравнение (62) становится требованием для определителя матрицы Якоби:

                                                      Det[J] ≠ 0.                                            (63)

Следовательно, существует обратная матрица Якоби, и системный поворот δ, равный (50), принимает вид:

                                                           δ = J^-1Δ.                                              (64)

Если существуют два набора измерений Δ₁ и Δ₂, связанных с двумя матрицами Якоби J₁ и J₂ (с Det [J₁] ≠ 0 и Det [J₂] ≠ 0), соответственно, оба относятся к одному и тому же твердому телу, можно использовать уравнение (64) для получения взаимосвязи между Δ₁ и Δ₂:

                                             δ = (J₁)^-1Δ₁ = (J₂)^-1Δ₂ ,                                             (65)

                                   Δ₁ = J₁ (J₂)^-1Δ₂ или Δ₂ = J₂ (J₁)^-1Δ₁.                         (66)

Если N<6 и выполняется условие (62), решение совместных уравнений (57) представляет, в некотором смысле, наилучшую оценку неизвестных. Оценка  рассчитывается с использованием метода наименьших средних квадратов. В предположении, что значения Δ₁, Δ₂, …, Δ_N известны с одинаковой точностью (например, они получены из аналогичных измерений), оценка неизвестных, входящих в систему (56), получена [4] с использованием матрицы Якоби размерностью N× 6, уравнение (59),

                                                      .                                    (67)