Матрица погрешностей: стандартная форма

В общем случае движения тела (т. е. движения с 6 степенями свободы) матрица преобразования представляет собой шестипараметрическую расширенную матрицу Эйлера:

    , (6)

где, как и ранее, p_xi, p_yi, p_zi - параметры смещения i-го тела по осям X_i-1-, Y_i-1- и Z_i-1 соответственно; θ_i, ψ_i, ϕ_i - углы Эйлера последовательных поворотов вокруг осей X_i-1-, Y_i-1- и Z_i-1 соответственно (в заданном порядке!).

Если шесть параметров смещения матрицы A_Eu, уравнение (6), являются бесконечно малыми, матрицу можно упростить, используя линеаризацию тригонометрических функций, уравнения (1-2). После подстановки малых значений δ_x, δ_y, δ_z, δ_θ, δ_ψ и δ_ϕ на регулярные значения p_x, p_y, p_z, θ, ψ и ϕ соответственно в матрице A_Eu ее элементы подчиняются условиям линеаризации:

                                                         ,                                            (7)

    .       (8)

Следовательно, матрица малых смещений звена, вызванных шестью бесконечно малыми позиционными и ориентационными смещениями звена, становится:

                       (9)

где δx, δy, δz - погрешности перемещения (небольшие линейные перемещения вдоль осей координат); и δθ, δψ,δϕ – погрешности вращения (небольшие вращения вокруг осей координат).

Очевидно, матрица W может быть представлена как сумма двух матриц размерностью 4 × 4:

                                                                                  (10)

где I_{4 × 4} - единичная матрица размерностью 4 × 4; а E - бесконечно малая матрица, называемая матрицей стандартных погрешностей (далее «матрица погрешностей»):

                                           ,                                (11)

Матрица E объединяет:

1. Элементы δ_x, δ_y и δ_z четвертого столбца, моделирующие малые перемещения звена вдоль осей координат.

2. Верхняя левая антисимметричная (косая) блок-матрица размерностью 3×3, составляющая малые угловые смещения δ_θ, δ_ψ и δ_ϕ вокруг осей координат X, Y, Z.

3. Нули в четвертой строке.

В связи со значительной важностью матрицы погрешностей в следующем материале ниже сформулированы ее специфические особенности.