2021-11-13
101
Особенность 1. Разложение по матрицам вращения и перемещения: матрицу E можно представить в виде суммы кососимметричной матрицы Erot угловых погрешностей (δθ, δψ и δϕ) и матрицы Etr погрешностей перемещения (δxi, δy и δz).
. (12)
Особенность 2. Разложение по шести элементарным матрицам: матрица E может быть представлена как сумма шести матриц элементарных погрешностей E1, E2, …, E6, каждая из которых зависит от одной погрешности.
, (13)
(14)
. (15)
В свою очередь, сумма (13) может быть разложена в линейную форму постоянных матриц размерностью 4×4 с бесконечно малыми переменными множителями:
(16)
где δj - элементарные погрешности; Dj - постоянные матрицы размерностью 4×4 (называемые также «матрицами проекций»), Dj = ∂E / ∂δj, элементы которых равны только 0, 1 и -1,
, (17)
. (18)
Особенность 3. Форма разделения: матрица погрешностей Е может быть представлена с помощью подматриц.
, (19)
где 0T = [0, 0, 0];
Φ – антисимметричная подматрица угловых погрешностей 3×3;
δtr – вектор малых линейных перемещений δx, δy, δz,
. (20)
Особенность 4. Добавление матриц погрешностей: если на тело действует несколько воздействующих факторов, и каждый из этих факторов приводит к небольшим смещениям тела, соответствующие бесконечно малые матрицы и их аналогичные элементы суммируются,
, (21)
, (22)
. (23)
где m - количество источников воздействующих факторов, относящихся к одному и тому же твердому телу.
Особенность 5. Преобразование подобия [3] матрицы погрешностей E, уравнение (11), с матрицей преобразования координат A сохраняет стандартную форму матрицы погрешностей:
, (24)
где E и 
– матрицы погрешностей до и после преобразования координат соответственно.
Чтобы продемонстрировать эту особенность, рассмотрим общий случай преобразования (24), в котором матрица A представляет собой расширенную матрицу Эйлера AEu:
(25)
Обратная матрица произведения равна произведению тех же матриц аргумента с противоположным знаком, взятого в обратном порядке,
. (26)
Подстановка уравнения (25) и (26) в уравнение (24) дает бесконечно малую матрицу:
, (27)
.
(28)
Следовательно, матрица объединяет бесконечно малый антисимметричный верхний левый блок размерностью 3×3 и бесконечно малый верхний правый вектор размерностью 3×1, то есть матрица, полученная после общего преобразования подобия матрицы погрешностей E, является матрицей погрешностей в ее стандартной форме, уравнение (11).
Особенность 6. Связь с матрицей скоростей: поскольку матрица стандартной погрешности объединяет набор бесконечно малых смещений твердого тела, существуют тесные отношения между матрицей E и матрицей скоростей V, состоящей из блока вращения Ω размерностью 3×3 и вектора перемещения v размерностью 3×1:
E = Vdt, (29)
, (30)
. (31)
где d t - дифференциал времени;
ωx, ωy и ωz - угловые скорости вращения твердого тела вокруг осей X, Y и Z соответственно (ωx ≈ δθ/ d t; ωy ≈ δψ/ d t; ωz ≈ δϕ / d t);
vx, vy и vz - линейные скорости вдоль тех же осей (vx ≈ δx/ d t; vy ≈ δy/ d t; vz ≈ δz/ d t).
