Суммарная погрешность положения точки тела: векторное представление

1.2.2 Суммарная погрешность положения точки тела: векторное представление

 

Номинальное положение и ориентация конечного звена, связанного с рабочим инструментом FSS, по отношению к исходному звену, связанному с обрабатываемым элементом, определяются с помощью FSF:

                                               [r₀ c₀] = ⁰A_n [r_n c_n]                                        (88)

или:

                                         .                          (89)

Вектор Δr₀ погрешности положения и вектор Δc₀ погрешности ориентации активного элемента относительно целевого элемента определяются следующим образом:

                                         .                                  (90)

Их значения рассчитываются путем замены матрицы погрешностей манипуляции ⁰ΔA_n, уравнение (79), на номинальную матрицу манипуляции ⁰A_n, уравнение (88-89):

                                             [Δr₀ Δc₀ ] = ⁰ΔA_n [r_n c_n ],                              (91)

                                      .                               (92)

С учетом уравнение () получается:

                                      .                         (93)

В i-м дополнении к сумме (93) представлен вклад погрешностей i-го звена в общую погрешность:

                             [Δr_0i Δc_0i] = ⁰A_iE_i ⁱA_n [r_n c_n], i = 0, 1, …, n.                  (94)

Вектор погрешности, уравнение (93), может быть переписан в расширенной форме как сумма вкладов всех звеньев, включая погрешность определения местоположения:

[Δr₀ Δc₀] = (E₀ ⁰A₁ ¹A₂ …ⁿ⁻¹A_n +⁰A₁ E₁ ¹A₂ …ⁿ⁻¹A_n +⁰A₁ ¹A₂ E² …ⁿ⁻¹A_n +…

                    + ⁰A₁ ¹A₂ …E_n−1 ⁿ⁻¹A_n +⁰A₁ ¹A₂ …ⁿ⁻¹A_n E_n) [r_n c_n].             (95)

Для иллюстрации рассмотрим два простых примера, связанных с двухступенчатыми цепочками.

Численный пример 2. Этап XY-трансляции (Рис. 2). Поскольку число звеньев равно n = 2, матрица манипуляции ⁰A_n = ⁰A₂ и матрица погрешностей  ⁰ΔA_n = ⁰ΔA₂ являются:

               ,       (96)

                      ,     (97)

где δ_x0,1 = δ_x0 + δ_x1; δ_x0,1,2 = δ_x0 + δ_x1 + δ_x2; δ_y0,1,2 = δ_y0 + δ_y1 + δ_y2 и так далее.

 

Рисунок 2 – Поступательный этап XY с погрешностями положения и движения ходового механизма

 

Погрешность положения Δr₀, равная (42), и погрешность ориентации Δc₀, равная (43), принимают вид:

  

           .   (98)

Численный пример 3. Операция наплавки на токарном станке (Рис. 3). Матрица манипуляций ⁰A_n и соответствующая матрица погрешностей ⁰ΔA_n, уравнение (93), являются:

 , (99)

, (100)

где:

                         Δ₁₄ = δ_x0 + δ_x1,2cos ϕ − (δ_y1,2+ δ_ϕ0,1 x) sin ϕ,                    (101)

                         Δ₂₄ = δ_y0 + δ_x1,2 sin ϕ + (δ_y1,2+ δ_ϕ0,1 x) cos ϕ,                   (102)

                         Δ₃₄ = δ_z0,1,2− δ_ψ0 x cos ϕ + δ_θ0 x sin ϕ−δ_ψ1 x.                        (103)

 

Рисунок 3 – Движения перед операцией

 

Затем вычисляются погрешность положения:

                                                       Δr = ⁰ΔA₂r₂ .                                                (104)