Планарный случай. Суммарная погрешность. Погрешность в управлении

1.1.3.3 Планарный случай

 

Полученные формулы справедливы и для планарного случая со следующими изменениями:

1. Скручивание сочетает в себе три ошибки - малые линейные перемещения δ_x и δ_y и малый угол поворота δ_ϕ, т. е.:

                                                     δ = [δ_x, δ_y, δ_ϕ] ^T.                                     (68)

2. Матрица погрешностей E, уравнение (11), становится матрицей размерностью 3 × 3:

                                          .                                  (69)   

Эквивалентные представления матрицы погрешностей: 

. (70)

3. Вектор координат Плюккера, равный (51), принимает вид:

                                                    u = [e_x, e_y, n_z]^T,                                       (71)

где e_x и e_y – направляющие косинусы (e_x² + e_y² = 1) единичного вектора e, определяющего ориентацию линии, e = [e_x, e_y]^T;

n_z - момент вектора e относительно начала координат,

                                               .                        (72)

4. Матрица Якоби размерностью 3 × 3 принимает вид:

                                                .                                (73)

Проекция Δ вектора малого смещения (скручивания) Δr на линию, заданную единичным вектором e = [e_x, e_y, 0]^T, уравнение (71) принимает вид:

                                         Δ = u^Tδ= e_xδ_x + e_yδ_y + n_zδ_ϕ.                               (74)

 

1.2 Суммарная погрешность

1.2.1 Погрешность в управлении

 

Определение 1. Матрица ⁰A_n размерностью 4 × 4 0, вводимая в FSF, будет далее называться номинальной матрицей манипуляции:

                                                  ,                                    (75)

где n - количество звеньев FSS;

 (i = 1, 2, …, n) – HTM размерностью 4 × 4, связанный с i-м звеном.

Определение 2. Фактическая матрица манипуляций ⁰ _n, описывающая движение звеньев FSS, сопровождаемое погрешностями ориентации (геометрическими и кинематическими), является:

                                                                                      ⁰ _n =  ,                                   (76)   

где  – HTM размерностью 4 × 4, связанный с реальным движением i-го звена, выражающийся через номинальную матрицу  и матрицу малого движения V_i, уравнение (9):

                                                     .                                  (77)

Уравнение (77) означает, что реальное движение i-го звена интерпретируется как два последовательных движения звена: номинальное движение и небольшое движение, вызванное шестью погрешностями ориентации положения, в указанном порядке:

Определение 3: Матрица погрешностей манипуляции , возникающих в результате небольших отклонений ориентации звеньев FSS от их номинального движения, представляет собой разницу:

                                                 .                             (78)

Утверждение. Матрица погрешностей манипуляции ⁰ΔA_n, включает 6 погрешностей начального звена относительно базовой системы координат и 6n элементарных погрешностей n звеньев FSS и выражается через HTM и матрицы стандартных погрешностей E_i, уравнение (11):

                                                                        ⁰ΔA_n =  ,                                 (79)

                                      ,                            (80)

                                        ,                            (81)

                               .               (82)

где E₀ – матрица погрешностей, содержащая погрешности местоположения и ориентации исходного звена относительно базовой системы координат S₀;

E_i (i = 1, …, n) – матрица погрешностей местоположения и погрешностей ориентации i-го звена по отношению к его собственной системе координат S_i.

Доказательство. Замена уравнения (10) на матрицу V_i в уравнении (77) дает:

                        ,         (83)

где E_i – стандартная матрица погрешностей, связанная с i-м звеном, уравнение (11).

После подстановки этого выражения в уравнение (76) получается:

                                      .                              (84)

Условия скалярной линеаризации, уравнение (8.6), могут быть расширены применительно к матрицам погрешностей:

                                        E_iE_k ≈ 0 и ⁰A_iE_i ⁱA_k E_k^kA_n ≈ 0,                            (85)

где 0 – нулевая матрица размерностью 4 × 4;

E_i и E_k – матрицы погрешностей для i-го и k-го звеньев;

⁰A_i, ⁱA_k и ^kA_n – матрицы размерностью 4 × 4, определенные аналогично уравнениям (80) и (81).

Умножение матриц в правой части уравнения (84) с учетом уравнения (83) приводит к линеаризованному выражению:

                 ⁰Â_n = ⁰A_n + ⁰A₁E₁¹A_n + ⁰A₂ E₂²A_n +…+ ⁰A_n−1E_n−1 ⁿ⁻¹A_n + ⁰A_nE_n .         (86)

Следовательно, матрица погрешностей манипуляции ⁰ΔA_n, уравнение (78), принимает вид:

⁰∆A_n = ⁰Â_n - ⁰A_n = ⁰A₁E₁¹A_n + ⁰A₂E₂²A_n + ⁰A_n-1E_n-1^n-1A_n + ⁰A_nE_n = ∑⁰A_iE_iⁱA_n . (87)