Используя формулу (1), получаем

Рисунок 3

Рисунок 1

Слой балки (на уровне волокна ), не испытывающий при изгибе ни растяжения, ни сжатия, называется нейтральным слоем. Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения балки (рис.2) называется нейтральной осью (линией). Пересечение силовой плоскости с плоскостью поперечного сечения называется силовой линией.

Рисунок 2

Из рассмотренных результатов опытов следует, что волокна балки деформируются различно: большие деформации испытывают волокна, более удаленные от нейтрального слоя. Покажем, что по высоте сечения балки деформации изменяются по линейному закону.

Действительно, отрезок , представляет полное удлинение волокна , длина которого до деформации равна длине волокна , принадлежащего нейтральному слою (см. рис.1). Относительное удлинение этого волокна

где — радиус кривизны нейтрального слоя балки (значение пока неизвестно); – расстояние от нейтральной оси до рассматриваемого волокна.

Прежде чем переходить к определению напряжений, введем еще одну гипотезу, а именно: предположим, что волокна балки не оказывают давления друг на друга, т. е. напряжения в направлении, перпендикулярном оси балки, равны нулю. Следовательно, каждое волокно испытывает одноосное растяжение или сжатие. Формула, получаемая на основании этой гипотезы, дает результаты, хорошо согласующиеся с данными опытов. Тогда, по закону Гука, для одноосного напряженного состояния получим

(1)

т. е. нормальные напряжения изменяются по высоте поперечного сечения балки пропорционально расстоянию от нейтральной оси.

Наибольшие напряжения будут у верхнего и нижнего краев сечения.

Эпюра показана на рис.2. Растягивающие напряжения считаем положительными.

Следует подчеркнуть, что векторы нормальных напряжений перпендикулярны плоскости поперечного сечения балки, а отрезки, изображающие их на эпюре, условносовмещены с плоскостью сечения.

Установив закон распределения напряжений, можно определить и их значение из уравнений равновесия. Рассмотрим равновесие части балки, находящейся под действием внешнего момента и внутренних сил, возникающих в проведенном поперечном сечении (рис. 3).

При равновесии этой части балки должны соблюдаться шесть уравнений равновесия: равенство нулю суммы проекции действующих сил на три оси координат и равенство нулю трех сумм моментов относительно осей

1.Приравниваем нулю сумму проекций на ось

2. То же самое – на ось

и обращаются в тождества, таккак внутренние силы перпендикулярны этим осям.

3.Приравниваем нулю сумму проекцийна ось

или.

Но так как ибо рассматриваетсяизогнутая балка.

Следовательно,

Этот интеграл представляет собой статический момент площади поперечного сечения балки относительно нейтральнойоси. Он равен нулю, и, следовательно, нейтральная ось при изгибе проходит через центр тяжести сечения.

4. Уравнение обращается в тождество, таккаквнутренние усилияпараллельны оси .

5. Уравнение дает . Используя формулу (1), получаем

Но следовательно, Интеграл представляет собой центробежный момент инерции сечения относительно осей и . Так как он равен нулю, то оси и должны быть главными осями сечения и момент должен лежать в плоскости, проходящей через однуиз главных осей, что и выполняется при плоском изгибе. Из этого условия следует также, что силовая линия и нейтральная ось (нулевая линия) взаимно перпендикулярны.

6. Приравниваем нулю суммы моментов сил относительно оси

Используя формулу (1), получаем

Интегралпредставляет собой момент инерции сечения относительно нейтральной оси .

На отсеченную часть балкиможет действовать не одна внешняя пара, а несколько, атакже любая другая нагрузка.

В этом случае уравнение равновесия содержит алгебраическую сумму моментов от всех этих сил, равную изгибающему моменту в поперечном сечении —

Имея в виду сказанное, последнее соотношение представим в виде

(2)

откуда

(3)

Величина представляет собой кривизну нейтрального слоя балки.

Несколько выше было показано, что нейтральная линия поперечного сечения проходит через его центр тяжести. Следовательно, ось (продольная ось) балки, являющаяся геометрическим местом центров тяжести ее поперечных сечений, расположена в нейтральном слое. Таким образом, получаем, что выражение (3) определяет кривизну оси балки.

Итак, кривизна оси балки при изгибе пропорциональна изгибающему моменту и обратно пропорциональна величине называемой жесткостью балки.

Подставляя найденное значение в (1), получим важную формулу

(4)

позволяющую определить нормальное напряжение в любой точке поперечного сечения балки по известным изгибающему моменту и моменту инерции сечения.

Формула (4) вычислена для чистого изгиба.

При поперечном изгибе в поперечных сечениях балки возникают и нормальные, и касательные напряжения.

Возникновение касательных напряжений сопровождается появлением деформаций сдвига, в результате чего поперечные сечения балки перестают быть плоскими (гипотеза Бернулли теряет силу). Кроме того, при поперечном изгибе возникают напряжения в продольных сечениях балки, т.е. имеетместонадавливание волокон друг на друга.

Более детальные исследования показывают, что,несмотря наэто, формула (4) дает вполне надежные результаты иприпоперечном изгибе.

2. УСЛОВИЯ ПРОЧНОСТИ ПО НОРМАЛЬНЫМ НАПРЯЖЕНИЯМ

Для обеспечения прочности балки необходимо, чтобы наибольшие растягивающие и наибольшие сжимающие напряжения при изгибе в опасном сечении, т. е. в сечении, где М имеет наибольшее значение, не превосходили соответствующих допускаемых напряжений (рассматриваются только балки с постоянным по всей длине поперечным сечением).

Обозначим (рис. 3) – расстояние до наиболее удаленного от нейтральной оси растянутого волокна, — расстояние до наиболее сжатого волокна. Тогда наибольшее растягивающее напряжение при изгибе

(5)

наибольшее сжимающее напряжение (взятоепо абсолютному значению)

(6)

Для хрупких материалов (например, чугуна) допускаемые напряжения на растяжение и сжатие различны: в 3—5 раз больше , поэтому для балок из таких материалов обычно применяют сечения, не симметричные относительно нейтральной оси. При этом сечение располагают таким образом, чтобы h_t<h_с, т. е. чтобы обеспечивалось неравенство . В указанных случаях надо составлять два условия прочности:

по наибольшим растягивающим напряжениям

; (7)

по наибольшим сжимающим напряжениям

(7а)

где и — моменты сопротивления растянутого и сжатого волокон.

В формулы (7), (7,а) надо подставлять наибольшее (по абсолютному значению) значение .

Если сечение балки симметрично относительно нейтральной оси (такие сечения целесообразно применять для балок из пластичных материалов), т. е. то вместо двух формул (5) и (6) получим одну

(8)

Обозначив, получим при одинаковых допускаемых напряженияхна растяжение и сжатие , следующее условие прочности:

(9)

Величина называется осевым моментом сопротивления или моментом сопротивления при изгибе. Момент сопротивления является геометрической характеристикой поперечного сечения балки, определяющей ее прочность при изгибе.

Значения для простейших сечений следующие:

для прямоугольника

для круга

для кольца

где ;

для прокатных сечений (двутавры, швеллеры и т. п.) значения указаны в таблицах сортамента. Для подбора сечения балки из уравнения (9) получим зависимость

. (10)