КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ БАЛОК РАЗЛИЧНЫХ СЕЧЕНИЙ
ФОРМУЛА ЖУРАВСКОГО
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
ЛЕКЦИЯ №13
ТЕМА: КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ
ПЛАН:
В общем случае изгиба (при поперечном изгибе) в поперечных сечениях балки возникают изгибающие моменты и поперечные силы. Наличие изгибающего момента связано с возникновением в поперечных сечениях балки нормальных напряжений, для определения которых можно пользоваться формулой (4) (см. лекцию №10).
Наличие поперечной силы связано с возникновением касательных напряжений в поперечных сечениях балки, а по закону парности касательных напряжений – и в ее продольных сечениях (рис. 1).
Рисунок 1
Для определения касательных напряжений рассмотрим вначале балку прямоугольного сечения небольшой ширины (рис.2).
Рисунок 2
Вырежем из балки элемент длиной и шириной, равной ширине балки. На этот элемент действуют следующие силы: по грани 344'3' действуют нормальные напряжения, которые согласно формуле (4) (см. лекцию №10) равны
(а)
где – изгибающий момент в сечении 344'3'.
Кроме того, в указанном сечении действуют неизвестные пока касательные напряжения τ, которые ввиду незначительной ширины сечения балки можно считать равномерно распределенными по ширине сечения (гипотеза Журавского);
по грани 122'1' действуют нормальные напряжения
(б)
и касательные напряжения ;
по грани 322'3' действуют только касательные напряжения, по закону парности равные касательным напряжениям, действующим по вертикальным граням.
Составим уравнение равновесия отсеченного элемента балки. Спроецируем силы, действующие на элемент, на горизонтальную ось. Очевидно, касательные усилия, действующие по вертикальным граням, в указанное уравнение не войдут.
Касательное усилие по грани 233'2' спроецируется в истинную величину τbdz. Нормальные усилия, действующие по грани 344'3', имеют равнодействующую
Нормальные усилия, действующие по грани 122'1', имеют равнодействующую
Интегралы должны быть взяты по площади отсеченной части, т. е. по площади граней 122'1' и 344'3'.
Используя, уравнение равновесия получаем
или
Используя выражения (а) и (б), имеем
Выражение представляет собой статический момент площади отсеченной части сечения относительно нейтральной оси. Следовательно,
.
Но – приращение изгибающего момента на длине . Так что предыдущую формулу можно переписать в виде
откуда
.