Базис и размерность подпространства

Определение 5.8: Пусть – подпространство в . Система векторов из называется базисом подпространства , если она удовлетворяет двум условиям:

1. Система линейно независима.

2. .

Из определения 5.8 следует, что , .

Определение 5.9: Система чисел называется координатами вектора в базисе .

Теорема 5.2: Система векторов , ,…, образует базис пространства .

Лемма: Пусть – подпространство в , – базис в , – линейно независимая система векторов из , тогда .

Теорема 5.3: Всякое подпространство из обладает базисом, при этом все базисы подпространства состоят из одинакового количества векторов.

Определение 5.10: Количество векторов в базисе подпространства называется размерностью подпространства и обозначается .

Определение 5.11: Ранг системы векторов – это максимальное число линейно независимых векторов в этой системе. Обозначается: . Очевидно, что .