Тема 6 Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу размерности :

.

Определение 6.1: Рангом матрицы по столбцам () называется ранг ее системы столбцов как векторов пространства . Рангом матрицы по строкам () называется ранг ее системы строк как векторов пространства .

Определение 6.2: Выберем в матрице произвольные строк и столбцов, . Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, образуют квадратную матрицу -го порядка, определитель которой называется минором -го порядка матрицы .

Лемма: Если все миноры -го порядка матрицы равны нулю, то равны нулю все миноры более высоких порядков.

Теорема 6.1: Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы равен ее рангу по столбцам.

Следствие 1: – ранг матрицы.

Следствие 2: Определитель равен нулю тогда и только тогда, когда его строки (столбцы) линейно зависимы.

Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными:

(1)

Составим матрицу системы: и расширенную матрицу системы:

Теорема Кронекера-Капелли: Система (1) совместна тогда и только тогда, когда .