Решение. a) Подынтегральная функция представляет собой несократимую правильную рациональную дробь

a) Подынтегральная функция представляет собой несократимую правильную рациональную дробь. Кроме того, знаменатель разложен на простейшие множители. Заметим, что все корни знаменателя действительные: - двукратный корень, - простой корень.

Разложим подынтегральную функцию в сумму простейших дробей:

. (2.7)

Поскольку в (2.7) дроби, стоящие слева и справа, равны и имеют одинаковые знаменатели, то должны быть равны и их числители:

. (2.8)

Подставим в равенство (2.8) вместо последовательно значения корней знаменателя:

;

;

;

.

Подставим теперь в (2.8) вместо любое значение, например, :

;

;

;

.

Следовательно, и

.

Вспомогательные вычисления:

.

б) Подинтегральная функция является неправильной рациональной дробью. Поэтому сначала выделим целую часть:

Результат деления можно записать в виде

.

Тогда

Вспомогательные вычисления.

Выделим сначала полный квадрат двучлена:

.

Тогда

.

В заключение отметим, что алгоритм нахождения неопределенного интеграла от рациональной дроби можно кратко сформулировать следующим образом:

1) выделение целой части, если дробь неправильная, т.е. представление ее в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби;

2) разложение знаменателя на простейшие множители с действительными коэффициентами в случае, если он не представлен в виде разложения;

3) интегрирование многочлена;

4) представление полученной правильной рациональной дроби в виде суммы простейших дробей;

5) интегрирование полученного разложения правильной дроби;

6) запись конечного результата суммированием интеграла от многочлена и интеграла от правильной рациональной дроби.

► Найти интегралы:

.

► Выделите полный квадрат двучлена из трехчлена:

.

► Опишите метод замены переменной.

► Найти интегралы:

.

Ответы: а) ; б) ;

в) ;

г) .

► Найти интегралы:

.

Ответы: а) ; б) ;

в) .