Интегрирование дробно-рациональных функций

Дробно-рациональной функцией или рациональной дробью  называется отношение двух многочленов: .

Если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, т.е. , то рациональная дробь называется правильной. В противном случае рациональная дробь называется неправильной.

Интегрирование дробно-рациональной функции проводится в несколько этапов. Сначала мы перечислим эти этапы, а потом подробно поясним каждый из них на примере. Итак, для интегрирования дробно-рациональной функции  следует:

1) если рациональная дробь неправильная, то выделить из нее целую часть и правильную рациональную дробь : ;

2) знаменатель дроби  разложить на линейные множители , и квадратные множители , с действительными коэффициентами;

3) правильную рациональную дробь разложить методом неопределенных коэффициентов на простейшие дроби

4) найти неопределенные (неизвестные пока) коэффициенты

;

5) найти интегралы от целой части и простейших дробей.

Поясним все сказанное на примерах.

Пример 4. Найти интеграл .

Подынтегральная функция есть правильная рациональная дробь, так как степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе. Кроме того, знаменатель уже разложен на линейные множители. Поэтому сразу переходим к разложению рациональной дроби на простейшие дроби с неопределенными коэффициентами:

.

Умножив это равенство на , получим:

.

Подставив в это равенство последовательно , получим , , . Таким образом,

Мы нашли коэффициенты разложения методом частных значений.

Теперь подставим найденные значения в равенство:

.

Проинтегрируем полученные простейшие дроби:

Пример 5. Найти интеграл .

Подынтегральная функция есть неправильная рациональная дробь, так как степень многочлена в числителе больше степени многочлена в знаменателе. Поэтому выделим из неправильной дроби ее целую часть, поделив числитель на знаменатель.

В результате деления получим:

.

Теперь знаменатель получившейся правильной дроби разложим на множители , а саму правильную дробь на простейшие дроби:

.

Умножив это равенство на , получим:

.

Подставив в это равенство значения , получим

Для отыскания коэффициента  можно либо в равенстве (14.5) подставить еще одно частное значение , либо в правой и левой частях равенства (14.5) приравнять коэффициенты при одинаковых степенях , например, при : .

Тогда . Подставляя найденные  в равенство (14.4) и используя равенство (14.3), окончательно получим

Пример 6. Найти интеграл .

Подынтегральная функция есть правильная рациональная дробь, так как степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе. Квадратный трехчлен в знаменателе  имеет отрицательный дискриминант, следовательно, он не имеет действительных корней и не разлагается на линейные множители с действительными коэффициентами. Поэтому перейдем к разложению рациональной дроби на простейшие:

.

Умножив это равенство на , получим

.

Подставив в это равенство значения  получим:

 или .

Кроме того, в правой и левой частях равенства сравним коэффициенты при :  Итак,  Используя равенство, получим

.

Найдем первый интеграл: .

Для отыскания второго интеграла выделим в числителе производную квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе:

Складывая ,  и вводя , получим искомый интеграл:

Пример 7. Найти интеграл .

Здесь разложение знаменателя на линейные и квадратичные множители и разложение дроби на простейшие требуют громоздких выкладок. Значительно проще вынести из скобки :

и воспользоваться тем, что .

Тогда

Пример 8. Найти интеграл .

Решение. Как и в предыдущем примере, разложение знаменателя на линейные и квадратичные множители и разложение дроби на простейшие требуют громоздких выкладок. Удобнее воспользоваться тем, что Тогда

.