Скорость и ускорение точки в полярных координатах

Равнопеременное движение.

Равномерное движение.

Частные случаи движения точки

если принять при t = 0, s = 0

(*)

Так как , то с учетом (*)

если при t = 0, s = 0. Выполняя интегрирование, получим

Примем какую-либо точку О плоскости за полюс и проведем из неё полярную ось, например ось Ох (рис. 10). Положение движущейся точки М на плоскости известно, если заданы радиус-вектор r и полярный угол как функции времени, т. е.

(1)

Полярный угол считается положительным, если он откла­дывается от полярной оси до радиуса - вектора против часовой стрелки. Радиус-вектор как расстояние от точки О до точки М принимает только положительные значения.

Уравнения (1) называются уравнениями движения точки в полярных координатах. Они являются также уравнениями траектории точки в параметрической форме. Если из (1) исключить параметр - время t, то получим уравнение траек­тории в полярных координатах:

Введем единичный вектор , направленный по радиусу-век­тору от полюса О к точке М. Тогда

Для скорости получаем

Где вместо единичного вектора введён единичный вектор , направление которого получается поворотом вектора на в положительном направлении угла , т.е. против часовой стрелки (рис. 10). После этого для скорости точки получаем

Это разложение скорости точки на радиальную и трансверсальную (поперечную) составляющие, т.е.

где

,

,

Определим ускорение точки в полярных координатах. Имеем

Выполняя дифференцирование, получаем

Для производной по времени от единичного вектора имеем

,

Так как вектор поворачивается с той же угловой скоростью , что и вектор , а единичным вектором, по которому направлен вектор , является вектор .

После подстановки в выражение для ускорения производных от единичных векторов и объединения слагаемых имеем

.

Получили разложение ускорения точки на радиальную и трансверсальную составляющие, т.е.

, , .

Для проекций ускорения на оси Or и Op получаем

, .

Ускорение называется радиальным, а - трансверсальным. Трансверсальноеускорение можно выразить также в форме

Радиальная и трансверсальная составляющие ускорения взаимно перпендикулярны, поэтому