Скорость и ускорение точки в цилиндрических координатах

При движении точки в пространстве иногда используются цилиндрические оси координат. Они получаются добавлением к полярным координатам на плоскости координаты z, отчисляемой вдоль неподвижной оси Oz (рис. 11). Положение точки М определяют заданием трёх её цилиндрических координат как функций времени:

где , , - единичные векторы, направленные по осям цилиндрической системы координат. Оси Or и Op расположены в одной плоскости с осями Ox и Oy.

Представим радиус – вектор точки М как сумму двух векторов, т.е.

Скорость точки получим дифференцированием радиуса – вектора по времени:

Первое слагаемое в этом выражении вычислялось при выводе формулы для скорости точки в полярных координатах. Было получено

Во втором слагаемом постоянным по модулю и направлению единичный вектор можно вынести за знак производной. Для скорости получается следующее разложение на составляющие, параллельные осям цилиндрической системы координат:

Отсюда получаем формулы для проекций скорости на цилиндрические оси координат:

Так как составляющие скорости , и , параллельные осям цилиндрической системы координат, взаимно перпендикулярны, то для модуля скорости имеем

Ускорение точки получим дифференцированием по времени вектора скорости:

Первое слагаемое в этом выражении вычислялось при выводе ускорения в полярных координатах:

Во втором слагаемом при дифференцировании выносим вектор за знак производной. Объединяя результаты дифференцирования, получим следующее разложение ускорения на составляющие, параллельные осям цилиндрической системы координат:

Отсюда получаем формулы для проекций ускорения на цилиндрические оси координат

.

Составляющие ускорения , и , взаимно перпендикулярны, поэтому для модуля ускорения имеем: