Геометрические понятия. Дифференцирование единичного вектора

Радиус кривизны и соприкасающаяся плоскость. В точке М кривой линии проведем касательную (рис. 6). В другой близкой точке кривой М₁, отстоящей от точки М на расстоянии , построим касательную . В общем случае пространст­венной кривой касательные и будут скрещиваться. Проведем в точке М прямую линию , параллельную . Угол между линиями и называется углом смежности. Кривизной кривой k в точке М называют предел, к которому стремится угол смежности, приходящийся на единицу расстояния , причем стремится к нулю, т. е.

Радиусом кривизны кривой r в точке М называют величину, обратную кривизне кривой в этой точке, т. е.

Для определения понятия соприкасающейся плоскости прово­дим вспомогательную плоскость через две пересекающиеся прямые и (см. рис. 6). Предельное по­ложение этой плоскости при совпаде­нии в пределе точки М₁ с точкой М называется соприкасающейся плос­костью кривой в точке М.

Естественный трехгранник. Построим в точке М кривой линии естественные оси этой кривой (рис. 7). Первой естественной осью является касатель­ная . Ее положительное направление совпадает с направ­лением единичного вектора касательной , направленного в сторону возрастающих расстояний.

Перпендикулярно касательной располагается нор­мальная плоскость кривой. Нормаль, расположенная в со­прикасающейся плоскости, называется главной нормалью Мп. Она является линией пересечения нормальной плоскости с со­прикасающейся плоскостью. По главной нормали внутрь вогнутости кривой направим единичный вектор п.

Нормаль, перпендикулярная главной нормали, называется бинормалью. Единичный вектор , направленный по бинормали так, чтобы три вектора , и образовывали правую систему осей координат, определит положительное направление третьей естественной оси.

Три взаимно перпендикулярные оси , Мп и Мb называются естественными осями кривой. Эти оси образуют в точке М естественный трехгранник. При движении точки по кривой естественный трехгранник движется вместе с точкой как твердое тело, поворачиваясь вокруг вершины, совпадающей с движущейся точкой.

Дифференцирование единичного вектора. Вычислим производ­ную от единичного вектора по скалярному аргументу. Производная перпендикулярна самому единично­му вектору . Для доказательства этого используем тож­дество

Дифференцируя по времени обе части этого тождества, получим

Каждый из сомножителей этого выраже­ния не равен нулю, поэтому векторы и перпендикулярны друг другу.

Направим по вектору единичный вектор . Тогда

(*)

Годографом вектора является кривая, расположенная на сфере единичного радиуса, так как единичный вектор изменя­ется только по направлению (рис. 8).

По определению модуля производной от вектора имеем

Длина малой хорды с точностью до малых величин более высокого порядка равна длине дуги, которую стягивает хорда, т. е.

где - угол, опирающийся на эту дугу. Используя это выражение, получим

Подставляя это значение в (*) и используя выражение для радиуса кривизны и переменную s, получим

Радиус кривизны считаем положительным.

Ускорение точки при естественном способе задания движения

Учитывая, что для скорости точки имеем

а в соответствии с определением ускорения получаем

так как и направлен внутрь вогнутости траектории параллельно единичному вектору главной нормали .

Получено разложение ускорения точки по осям естественно­го трехгранника. Часть ускорения

называется касательной составляющей ускорения. Другая часть ускорения

называется нормальной составляющей ускорения. Она направле­на внутрь вогнутости траектории, т. е. в сторону положительно­го направления единичного вектора главной нормали , так как внутрь вогнутости траектории направлено полное ускоре­ние. Таким образом, ускорение точки

(*)

Получим формулы для проекций ускорения на естественные оси. Имеем:

Проекция ускорения нa положительное на­правление касательной, совпадающее с на­правлением единичного вектора , называ­ется касательным ускорением, а на главную нормаль, направленную по единичному вектору , -нормальным ускорением. Про­екция ускорения на бинормаль, направ­ленную по единичному вектору, равна нулю; следовательно, ускорение точки расположено в соприкасающейся плоскости траектории.

Учитывая ортогональность и (рис. 9), в соответствии с уравнением (*) имеем

Нормальная составляющая ускорения всегда направлена внутрь вогнутости траектории. Касательная составляющая при направлена в положительную сторону касательной, т. е. по направлению единичного вектора , а при – в отрицательную, противоположно .