Векторы угловой скорости и углового ускорения

Введем понятия векторов угловой скорости и углового ускорения тела. Если - единичный вектор оси вращения, направленный в ее положительную сторону, то векторы угловой скорости и углового ускорения определяют выражениями

; .

Так как - постоянный по модулю и направлению вектор, то из вышеприведенных формул следует, что

.

При и направления векторов и совпадают. Они оба направлены в положительную сторону оси вращения Oz (рис. 18,а). Если и , то они направлены в противоположные стороны (рис. 18, б).

Векторные формулы для скоростей и ускорений точек тела

Выразим скорость, касательное, нормальное и полное ускорения точки тела в векторной форме (рис. 19).

,

Это выражение называется векторной формулой Эйлера.

,

так как .

В частности, в качестве радиуса-вектора можно использовать вектор , направив его из точки О₁ в точку М.

Из определения ускорения и векторной формулы Эйлера имеем

.

Учитывая, что

; ,

получаем

.

Первое слагаемое является касательным ускорением, а второе – нормальным, т. е.

; .

В справедливости этой формулы убеждаемся вычислением их правых частей. Имеем (рис. 20)

,