Сложение вращательных движений твердого тела

1. Сложение вращений вокруг пересекающихся осей. Пусть твердое тело участвует одновременно в двух вращениях: переносном с угловой скоростью и относительном с угловой скоростью . Оси вращений пересекаются в точке О (рис.49.а)

Примером тела, участвующего в двух вращениях вокруг пересекающихся осей, является диск А, свободно насаженный на ось ОО' и вращающийся вокруг нее с угловой скоростью . Вместе с осью ОО' диск еще вращается вокруг другой

оси О₁О₂ (рис.49.б) с угловой скоростью .

По теореме о сложении скоростей для точки М имеем

Так как переносное и относительное движения являются вращениями вокруг осей, то

; ,

где h₁ и h ₂ - кратчайшие расстояния от точки М до соответствующих осей вращения.­ Площади треугольников в параллелограмме равны, поэтому .

При сложении двух вращений вокруг пересекающихся осей, одно из которых переносное, а другое - относительное, получается вращение тела вокруг мгновенной оси.

Для определения абсолютной угловой скорости вращения вокруг мгновенной оси выберем на теле точку N и вычислим ее скорость один раз как скорость сложного движения, а другой - как вращения вокруг мгновенной оси. По формуле Эйлера для вращательных движений при сложном движении имеем

Для абсолютного вращения вокруг мгновенной оси

Приравнивая скорости, получаем

т. е. угловая скорость абсолютного вращения равна векторной сумме угловых скоростей составляющих вращений.

2. Сложение вращений вокруг параллельных осей. Следует рассмотреть три случая.

1) Вращения имеют одинаковые направления. Тело участвует в двух вращениях: переносном с угловой скоростью и от­носительном с угловой скоростью (рис.50). На отрезке АВ тела в рассматриваемый момент имеется точка С, скорость которой равна нулю. Действительно, по теореме сложения скоростей для точки С имеем

Скорость точки С равна нулю, если . Но , . Следовательно,

или

(*)

Для определения угловой скорости вращения тела вокруг мгновенной оси вычислим скорость точки В, считая ее движение сложным. Получим

но

Следовательно,

Для скорости точки В при вращении тела вокруг мгновенной оси имеем

Приравнивая скорости точки В, полученные двумя способами, имеем

,

Согласно (*),

Поэтому

т.е. (**)

Формулу (*) можно представить в следующем виде:

Образуя производную пропорцию и используя формулу (**), получим

Таким образом, при сложении двух вращений тела вокруг параллельных осей в одинаковых направлениях получается враще­ние вокруг параллельной оси в том же направлении с угловой скоростью, равной сумме угловых скоростей составляющих вращений. Мгновенная ось полученного вращения делит отрезок

между осями составляющих вращений на части, обратно пропорциональные угловым скоростям этих вращений, внутренним образом.

2) Вращения имеют противоположные направления. Рассмот­рим случай, когда . Получим следующие формулы:

Таким образом, при сложении двух вращений твердого тела вокруг параллельных осей в противоположных направлениях получается вращение вокруг параллельной оси с угловой скоростью, равной разности угловых скоростей составляющих вращений в сторону вращения с большей угловой скоростью. Ось абсолютного вращения делит отрезок между осями составляющих вращений на части, обратно пропорциональные угловым скоростям этих вращений внутренним образом.

3. Пара вращений. Парой вращений называется совокупность двух вращений твердого тела, переносного и относительного, вокруг параллельных осей с одина­ковыми угловыми скоростями в противоположных направлениях (рис. 52 ).

В этом случае Рассматривая движение тела как сложное, по теореме сложения скоростей для точки М имеем

Составляющие движения явля­ются вращениями с угловыми скоростями и . По формуле Эйлера для них получим

После этого для абсолютной скорости имеем

так как . Учитывая, что , получаем

(~)

Так как векторное произведение можно назвать моментом угловой скорости относительно точки В, то

.

Заменяя в формуле (~)на , соответственно получим

.

Объединяя результаты, имеем

,

или

. (~~)

Таким образом, если твердое тело участвует в паре вращений, то скорости всех точек тела, согласно (~~), одинако­вы, т. е. тело совершает при этом мгновенное поступательное движение.