Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую

Вещественное число, в общем случае содержащие целую и дробную части всегда можно представить в виде суммы целого числа и правильной дроби. Поскольку ранее проблема записи натуральных чисел в различных системах счисления была решена, рассмотрим правило перевода правильных дробей.

А₁₀®А_q

Пусть А₁₀ – десятичная дробь, тогда в ее разложении отсутствуют коэффициенты с положительными индексами.

А₁₀= a_- ₁×q^-1+ a _-2×q^-2+ a _-3×q^-3… (1.2.3)

Таким образом, необходимо найти коэффициенты a _-1, a _-2,…, входящие в запись числа в q-ичной системе счисления.

Умножим правую и левую части выражения (1.2.3) на q. В результате в правой части получим:

a_- ₁+ a _-2×q^-1+ a _-3×q^-2+…

Целая часть здесь равна a_- ₁, она и даст нам старший коэффициент в разложении числа А₁₀.

Оставшуюся дробную часть умножим на q: a _-2×+ a _-3×q^-1+….

Цифра а _{- 2} представляет собой второй коэффициент после запятой в двоичном представлении исходного числа.

Описанный процесс необходимо продолжать до тех пор, пока в правой части не получим нуль или пока не будет достигнута необходимая точность вычислений.

Пример 6.

Перевести десятичную дробь 0,5625 в двоичную систему счисления.

Решение.

Вычисления лучше всего оформлять по следующей схеме:

0,	х 2
	х 2
	х 2
	х 2

0,5625₁₀=0,1001₂.

Пример 7.

Перевести в двоичную систему счисления десятичную дробь 0,7.

Решение.

0,	х 2
	х 2
	х 2
	х 2

…….

Очевидно, что этот процесс может продолжаться бесконечно, давая все новые и новые знаки в изображении двоичного эквивалента числа 0,7₁₀. Так, за четыре шага мы получаем число 0,1011₂, а за семь шагов число 0,1011001₂, которое является более точным представлением числа 0,7₁₀ в двоичной системе счисления. Такой бесконечный процесс обрывают на некотором шаге, когда считают, что получена требуемая точность представления числа.

Перевод смешанных чисел.

Перевод смешанных чисел, содержащих целую и дробную части, осуществляется в два этапа. Отдельно переводится целая часть, отдельно – дробная. В итоговой записи полученного числа целая часть отделяется от дробной запятой (точкой).

Пример 8.

Перевести число 17,25₁₀ в двоичную систему счисления.

Решение.

Переводим целую часть: Переводим дробную часть: