2014-02-09
2911
• Базисом позиционной системы счисления называется последовательность чисел, каждое из которых определяет количественный эквивалент (вес) символа в зависимости от его места в коде числа.
Базис десятичной системы счисления:..10 n, 10 n-1,..101, 100. 10-1,,.., 10-m,.... Базис произвольной позиционной системы счисления:...q n, q n-1,..., q1, q0,q-1 ,…, q-m.
• Основание позиционной системы счисления – это количество единиц младшего разряда числа, объединяемых в одну единицу старшего разряда.
Возможно множество позиционных систем, так как за основание системы счисления можно принять любое число, не меньшее 2. Наименование системы счисления соответствует ее основанию (десятичная, двоичная, пятеричная и т. д.).
Для записи чисел в позиционной системе с основанием q нужно иметь алфавит из q цифр, изображающих 0, 1, …, q – 1.
Обычно при q<10 используют q первых арабских цифр, а при q>10 к десяти арабским цифрам добавляют буквы. Примеры алфавитов нескольких систем счисления представлены в таблице 1:
Таблица 1
| Основание | Название | Алфавит |
| q=2 | двоичная | 0 1 |
| q=3 | троичная | 0 1 2 |
| q=8 | восьмеричная | 0 1 2 3 4 5 6 7 |
| q=16 | шестнадцатеричная | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 А В С D Е F |
Если требуется указать основание системы, к которой относится число, то оно приписывается нижним индексом к этому числу. Например:
|
|
|
1011012, 36718, 3В8F16.
В системе счисления с основанием q (q-ичная система счисления) единицами разрядов служат последовательные степени числа q, иначе говоря, q единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего разряда.
Основание позиционной системы счисления равно количеству символов (знаков) в ее алфавите. Основание в любой системе изображается как 10, но имеет разное количественное значение, оно показывает, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении ее на соседнюю позицию.
Развернутая и свернутая формы записи чисел
В позиционной системе счисления любое вещественное число может быть представлено в следующем виде:
Aq = ±(a n-1×qn-1+ a n-2× qn-2+ … + a 0 q0 + a -1 q-1 + a -2 q-2 + … + a -m q-m), (1.2.1)
Или
Aq = ±
(1.2.2)
где А – число;
q – основание системы счисления;
a – цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления;
n – количество целых разрядов чисел;
m – количество дробных разрядов чисел;
Разложение числа по формуле (1) называется развернутой формой записи.
Пример 1:
Получить развернутую форму десятичных чисел 4538,62, 53428.
Решение.
4538,62=4*103+5*102+3*101+8*100+6*10-1+2*10-2.
53428=5*104+3*103+4*102+2*101+8*100.
Пример 2:
Получить развернутую форму чисел 1123, 1001012,14FC16, 101,012.
Решение.
1123 = 1*102+1*101+2*100
1001012 = 1*10101+0*10100+0*1011+1*1010+0*101+1*100
14FC16 = 1*103+4*102+F*101+C*100
101,012 = 1*1010+0*101+1*100+0*10-1 +1*10-10
Обратите внимание на то, что в любой системе счисления ее основание записывается как 10.
|
|
|
Свернутой формой записи числа называется его представление в виде
A = a n-1 a n-2… a 1 a 0 a -1… a -m
Именно такой формой записи чисел мы и пользуемся в повседневной жизни, иначе свернутую форму записи называют естественной или цифровой.
