Числовые множества

Декартовыми координатами

Связь между полярными и прямоугольными

Полярная система координат

8.3.

Элементарные функции

К основным элементарным функциям относятся:

1) постоянная у=с, c=const R;

2) степенная, n R \{0};

3) показательная;

4) логарифмическая;

5) тригонометрические у =sin x, y =cos x, y =tg x, y =ctg x;

6) обратные тригонометрические у =arcsin x, y =arccos x, y =arctg x, y =arcctg x.

Области определения, значения этих функций и их графики приведены в приложении 1.

Сложной функцией (или суперпозицией) называется такая функция, для которой

,,;,,.

Элементарной функцией называется функция, записанная одной формулой и составленная из основных элементарных функций с помощью четырех арифметических операций (сложения, вычитания, умножения и деления) и операции суперпозиции.

Примеры:.

8.1. (операция суперпозиции)

8.2. (операция сложения)

Положение точки на плоскости можно определять с помощью полярной системы координат.

На плоскости выбираем некоторую точку О, которую мы будем называть полюсом. Выходящую из этой точки полупрямую будем называть полярной осью (рис.11). Тогда положение любой точки М на плоскости можно определить двумя числами:

1) – расстояние от точки М до полюса ();

2) – угол полярной осью и отрезком ОМ (положительным направлением отсчета угла считается направление против часовой стрелки).

Числа называются полярными координатами точки М.

Пусть начало прямоугольной декартовой системы координат совпадает с полюсом, а положительное направление оси Ох – с полярной осью. Из рис.12 следует:

x=cosφ, y=sinφ

и обратно,.

Пример 9.1: В декартовой системе координат точка М имеет координаты (1:2). Найдите полярные координаты т.М.

Решение.

.

Пример 9.2: В полярной системе координат. Найдите М в декартовых координатах.

Решение.

Пример 9.3: Постройте спираль Архимеда.

Решение. Составим таблицу значений φ и соответствующих им значений ρ

		0.52	0.78	1.05	1.57	2.35	3.14	4.71	6.28

Множество R называется ограниченным сверху, если существует такое число R, чтодля всех имеет место неравенство. Число b называется в этом случае числом, ограничивающим сверху множество Х (мажорантой).

Множество Х называется ограниченным снизу, если существует такое число R, чтодля всех имеет место неравенство. Число а называется в этом случае числом, ограничивающим снизу множество Х (минорантой).

Множество, ограниченное снизу и сверху, называется ограниченным. Множество, не являющееся ограниченным, называется неограниченным.

Пусть числовое множество Х ограничено сверху. Наименьшее среди всех чисел, ограничивающих сверху множество R, называется его верхней гранью и обозначается sup X (или).

Если числовое множество Х ограничено снизу, то наибольшее среди всех чисел, ограничивающих снизу множество R, называется его нижней гранью и обозначается inf X (или).

Для = sup X выполняются следующие свойства:

1), т.е. является мажорантой;

2) является наименьшей из мажорант.

Аналогично для = inf X:

1), т.е. является минорантой;

2) является наибольшей из минорант.

Теорема: Всякое ограниченное сверху непустое числовое множество имеет верхнюю грань, а ограниченное снизу непустое числовое множество имеет нижнюю грань.

Принцип Архимеда: Каково бы ни было действительное число а, существует такое натуральное число n, что n>a.