Предел числовой последовательности

Последовательностью называется числовая функция a_n=f(n), определенная на множестве натуральных чисел.

Значения последовательности называются членами последовательности и записываются в виде a ₁, a ₂, a ₃, …, a_n, … или (a_n). Число a_n – общий член последовательности.

Пример: Последовательность (2 ⁿ). Придавая значению n – натуральные числа, получим члены последовательности: 2, 4, 8, …. Общий член – 2 ⁿ.

К последовательностям, как и к функциям, применимы такие понятия как монотонность и ограниченность.

Последовательность (a_n) называется ограниченной, если

R (m < M) N. (11.1)

Последовательность (a_n) называется возрастающей, если N, и убывающей, если N.

Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными.

Число а называется пределом последовательности (a_n) при неограниченном возрастании n, если для любого числа >0 найдется такой номер N, зависящий только от, что при выполняется неравенство. Обозначение предела.

Символическая запись определения предела:

>0 N (). (11.2)

Аналогично можно определит предел с помощью окрестности точки.

Число а называется пределом последовательности (a_n), если, какова бы ни была окрестность точки а, она содержит все члены рассматриваемой последовательности, начиная с некоторого номера:

N N:. (11.3)

Последовательность (a_n) называется сходящейся, если существует конечный предел. В противном случае последовательность называется расходящейся.

Пример 11.1: Найдите предел.

Решение. Покажем, что. По определению предела возьмем, тогда для любого n>N = выполняется неравенство. Что и требовалось показать.

Последовательность (a_n) называется бесконечно малой, если.

Последовательность (a_n) называется бесконечно большой, если любого положительного числа Е>0 существует такой номер N(Е), зависящий от этого числа, что начиная с этого номера все члены этой последовательности больше этого числа, т.е. для любого выполняется неравенство.

При этом пишут.

Примеры:

1. Последовательность а_n =1/ n, n =1, 2, … бесконечно малая и.

2. Последовательность а_n = n², n =1, 2, … бесконечно большая и.

Свойства пределов

Свойство 1: Изменение конечного числа членов последовательности не влияет на ее сходимость (доказательство следует из определения пределов).

Пусть (а_n)– последовательность и из некоторых ее членов, взятых в порядке возрастания номера, составлена новая последовательность (), то она называется подпоследователь-ностью последовательности (а_n).

Пример:

(подпоследовательность последовательности)

Теорема: Если последовательность (а_n) сходится, то любая ее подпоследовательность сходится к тому же пределу.

Доказательство. Пусть существует такая последовательность { а_n }, что. Следовательно для нее выполняется условие (11.2). Пусть () – подпоследовательность последовательности { а_n }. Тогда произвольного >0 N из условия (11.2), что:.

Теорема единственности: Последовательность точек расширенной числовой прямой может иметь на этой прямой только один предел.

Доказательство. Пусть существует такая последовательность а_n, n =1, 2, …, что и, причем,. Тогда согласно определению предела существуют такие окрестности точек a и b, содержащие все члены рассматриваемой последовательности начиная с некоторого номера, что Ø.

Тогда N ₁ N ₁: и

N ₂ N ₂:.

Возьмем. В этом случае, что противоречит нашему предположению.

Свойство 2: Если, то.

Доказательство. Следует из определения предела.

>0 N (). Чтд.

Свойство 2.1: (с=const).